Continuïteit
f(x) = x³ − x − 1 is −1 bij x = 1 en 5 bij x = 2. Omdat de grafiek geen onderbrekingen heeft, moet die ergens ertussen door nul gaan.
Drie voorwaarden
Informeel is een functie continu als je de grafiek kunt tekenen zonder je potlood op te tillen. Dat beeld helpt, maar in de analyse heb je iets controleerbaars nodig. OpenStax geeft drie voorwaarden voor continuïteit van f in een punt a. Ten eerste is f(a) gedefinieerd. Ten tweede bestaat limx→a f(x). Ten derde zijn beide gelijk: limx→a f(x) = f(a). Faalt een voorwaarde, dan is f discontinu in a. Een functie is continu op een interval als die in elk punt ervan continu is.
Controleer ze in volgorde en stop bij de eerste die niet geldt. Bij (x² − 4)/(x − 2) in 2 faalt de eerste voorwaarde: f(2) is niet gedefinieerd. Bij de functie x + 2 met uitzondering f(2) = 1 gelden de eerste twee voorwaarden (f(2) = 1, limiet 4), maar de derde niet. Bij x² in 1 gelden ze alle drie: f(1) = 1, de limiet is 1 en ze zijn gelijk. Veeltermen zijn overal continu. Rationale functies zijn continu waar hun noemers niet nul zijn. Dit volgt direct uit de limietregels.
Soorten discontinuïteit
Er zijn drie soorten discontinuïteit, passend bij de drie mogelijke gedragingen van een limiet. Bij een ophefbare discontinuïteit bestaat de limiet, maar is de functie daar niet gedefinieerd of heeft die een verkeerde waarde. Met één punt herstel je dat: definieer f(a) opnieuw als de limiet. Bij een sprongdiscontinuïteit bestaan beide eenzijdige limieten, maar zijn ze verschillend. De grafiek springt dan omhoog of omlaag. Bij een oneindige discontinuïteit is minstens één eenzijdige limiet gelijk aan ±∞: er is een verticale asymptoot. Bij rationale functies zie je de eerste en derde soort; bij stuksgewijze functies vaak sprongen.
Bij stuksgewijze functies moet je vaak een constante kiezen zodat de delen aansluiten. Stel f(x) = x + k voor x < 1 en f(x) = 2x² voor x ≥ 1. Het rechterdeel geeft f(1) = 2 en rechterlimiet 2. De linkerlimiet is 1 + k. Voor continuïteit in 1 moeten die gelijk zijn, dus 1 + k = 2 en k = 1. Bij elke andere k blijft er een sprong bij x = 1.
De tussenwaardestelling
Continuïteit heeft een sterk gevolg. De tussenwaardestelling zegt: is f continu op een gesloten interval [a, b] en ligt z tussen f(a) en f(b), dan is er minstens één c in [a, b] met f(c) = z. Een continue functie kan geen waarden overslaan. Neem f(x) = x³ − x − 1: f(1) = −1 en f(2) = 5. Ergens tussen 1 en 2 neemt f dus de waarde 0 aan. De stelling garandeert een nulpunt zonder te zeggen waar. Herhaald halveren van het interval vindt het: f(1.5) = 0.875 > 0, dus het nulpunt ligt in [1, 1.5]; f(1.25) ≈ −0.297 < 0, dus het ligt in [1.25, 1.5], enzovoort. Het nulpunt is ongeveer 1.3247.
Sleep om te draaien. Scroll of knijp om te zoomen.
- Welke voorwaarde geldt niet voor (x² − 4)/(x − 2) bij x = 2?
- f(2) is niet gedefinieerd
- De limiet bestaat niet
- De limiet is niet 4
- Geen; de functie is continu
- Welke soort discontinuïteit heeft (x² − 4)/(x − 2) bij 2?
- Ophefbaar
- Sprong
- Oneindig
- Geen
- Welke soort discontinuïteit heeft |x − 2|/(x − 2) bij 2?
- Sprong
- Ophefbaar
- Oneindig
- Geen
- Welke soort discontinuïteit heeft 1/(x − 2)² bij 2?
- Oneindig
- Sprong
- Ophefbaar
- Geen
- f(x) = x + k voor x < 1 en 2x² voor x ≥ 1. Bij welke k is f continu in 1?
- f(x) = x³ − x − 1. Wat is f(1.5)?
- f(1) = −1 en f(1.5) = 0.875. Waar garandeert de tussenwaardestelling een nulpunt?
- Tussen 1 en 1.5
- Tussen 1.5 en 2
- Bij precies 1.25
- Nergens
- f(x) = x² − 2 heeft een nulpunt tussen 1 en 2. Halveer tweemaal: f(1.5) = 0.25 > 0, f(1.25) < 0. Wat is het midden van het interval dat na deze twee stappen overblijft?
- Waarom is 1/x op [−1, 1] geen tegenvoorbeeld voor de tussenwaardestelling?
- De functie is niet continu op [−1, 1]
- De functie neemt wel de waarde 0 aan
- De tussenwaardestelling geldt alleen voor veeltermen
- f(−1) en f(1) zijn gelijk
- Waar is een rationale functie continu?
- Overal waar de noemer niet nul is
- Overal
- Alleen bij gehele getallen
- Alleen waar de functie positief is
- Continu in a: f(a) is gedefinieerd, de limiet bestaat en beide zijn gelijk.
- Ophefbaar (gat of verkeerd geplaatst punt), sprong (eenzijdige limieten verschillen), oneindig (asymptoot).
- Veeltermen zijn overal continu; rationale functies waar de noemer niet 0 is.
- Tussenwaardestelling: op [a, b] neemt een continue f elke waarde tussen f(a) en f(b) aan.
Bronnen van deze cursus (5)
- OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 2 Limits: 2.1 A Preview of Calculus (tangent problem and area problem; secant slopes through (1, 1) on f(x) = x² with (2, 4) giving 3 and (3/2, 9/4) giving 2.5; rock s(t) = −16t² + 64 with average velocities −15.84 and −16.16 near t = 0.5; three rectangles under x² + 1 on [0, 3] giving 8: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
- 2.2 The Limit of a Function ((x² − 4)/(x − 2) → 4 at 2, (sin x)/x → 1 at 0 from a table, sin(1/x) has no limit at 0, one-sided limits of |x − 2|/(x − 2), infinite limits and vertical asymptotes, the formal definition appearing only in the late 19th century: .../pages/2-2-the-limit-of-a-function)
- 2.3 The Limit Laws (sum, difference, constant multiple, product, quotient, power and root laws; direct substitution; factoring and rationalizing 0/0 forms; squeeze theorem: .../pages/2-3-the-limit-laws)
- 2.4 Continuity (three conditions; removable, jump and infinite discontinuities; Intermediate Value Theorem: .../pages/2-4-continuity)
- 2.5 The Precise Definition of a Limit (.../pages/2-5-the-precise-definition-of-a-limit).
Geraadpleegd: 2026-10-17