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Continuidade

f(x) = x³ − x − 1 vale −1 em x = 1 e 5 em x = 2. Como não tem interrupções, deve passar por zero em algum ponto entre eles.

Três condições

Informalmente, uma função é contínua se podemos desenhar seu gráfico sem tirar o lápis do papel. A imagem é útil, mas o cálculo exige algo verificável. A OpenStax apresenta três condições para f ser contínua em um ponto a. Primeiro, f(a) está definido. Segundo, lim_x→a f(x) existe. Terceiro, os dois são iguais: lim_x→a f(x) = f(a). Se qualquer condição falhar, f é descontínua em a. Uma função é contínua em um intervalo se for contínua em todos os pontos dele.

Verifique as condições nessa ordem e pare na primeira falha. Para (x² − 4)/(x − 2) em 2, a primeira falha porque f(2) não está definido. Para a função igual a x + 2, exceto por f(2) = 1, as duas primeiras condições valem (f(2) = 1, limite 4), mas a terceira falha. Para x² em 1, as três valem: f(1) = 1, o limite é 1 e eles coincidem. Polinômios são contínuos em todo ponto, e funções racionais são contínuas onde seus denominadores não são zero; isso decorre diretamente das propriedades dos limites.

Tipos de descontinuidade

Há três tipos de descontinuidade, correspondentes aos três comportamentos possíveis de um limite. Uma descontinuidade removível tem limite, mas a função não está definida ali ou tem um valor diferente dele. Um único ponto resolve o problema: redefina f(a) como o limite. Uma descontinuidade de salto tem os dois limites laterais, mas eles são números diferentes, então o gráfico salta para cima ou para baixo. Uma descontinuidade infinita tem pelo menos um limite lateral igual a ±∞, o que significa uma assíntota vertical. Funções racionais apresentam o primeiro e o terceiro tipos; funções definidas por partes costumam apresentar saltos.

Uma descontinuidade removível: definir f(2) como o limite 4 preenche o furo e torna a função contínua.

Funções definidas por partes trazem um exercício comum: escolher uma constante para que as partes se encontrem. Suponha f(x) = x + k para x < 1 e f(x) = 2x² para x ≥ 1. A parte da direita dá f(1) = 2 e limite à direita 2. O limite à esquerda é 1 + k. Para haver continuidade em 1, eles devem coincidir, então 1 + k = 2 e k = 1. Qualquer outro k deixa um salto em x = 1.

O teorema do valor intermediário

A continuidade tem uma consequência importante. O teorema do valor intermediário diz: se f é contínua em um intervalo fechado [a, b] e z é qualquer número entre f(a) e f(b), então existe pelo menos um c em [a, b] com f(c) = z. Uma função contínua não pode pular valores. Tome f(x) = x³ − x − 1: f(1) = −1 e f(2) = 5, portanto f assume o valor 0 em algum ponto entre 1 e 2. O teorema afirma que existe uma raiz sem dizer onde ela está. Dividir o intervalo repetidamente ao meio permite encontrá-la: f(1.5) = 0.875 > 0, então a raiz está em [1, 1.5]; f(1.25) ≈ −0.297 < 0, então está em [1.25, 1.5], e assim por diante. A raiz é aproximadamente 1.3247.

O teorema exige continuidade em todo o intervalo fechado. 1/x vale −1 em x = −1 e 1 em x = 1, mas nunca é igual a 0, porque não é contínua em 0.

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x + 2 com f(2) = 1. O painel verifica as três condições: f(2) está definido, o limite é 4, mas 4 ≠ 1, então f não é contínua em 2.

Qual condição falha para (x² − 4)/(x − 2) em x = 2?
- f(2) não está definido
- O limite não existe
- O limite não é 4
- Nenhuma; é contínua
Que tipo de descontinuidade (x² − 4)/(x − 2) tem em 2?
- Removível
- Salto
- Infinita
- Nenhuma
Que tipo de descontinuidade |x − 2|/(x − 2) tem em 2?
- Salto
- Removível
- Infinita
- Nenhuma
Que tipo de descontinuidade 1/(x − 2)² tem em 2?
- Infinita
- Salto
- Removível
- Nenhuma
f(x) = x + k para x < 1 e 2x² para x ≥ 1. Qual k torna f contínua em 1?
f(x) = x³ − x − 1. Quanto vale f(1.5)?
f(1) = −1 e f(1.5) = 0.875. Onde o TVI garante uma raiz?
- Entre 1 e 1.5
- Entre 1.5 e 2
- Exatamente em 1.25
- Em nenhum lugar
f(x) = x² − 2 tem uma raiz entre 1 e 2. Divida o intervalo ao meio duas vezes: f(1.5) = 0.25 > 0, f(1.25) < 0. Qual é o ponto médio do intervalo restante após essas duas etapas?
Por que 1/x não contradiz o TVI em [−1, 1]?
- Não é contínua em [−1, 1]
- Ela de fato assume o valor 0
- O TVI só se aplica a polinômios
- f(−1) e f(1) são iguais
Onde uma função racional é contínua?
- Onde seu denominador não é zero
- Em todo ponto
- Só nos inteiros
- Só onde é positiva

Pontos-chave

Contínua em a: f(a) está definido, o limite existe e os dois são iguais.
Removível (furo ou ponto deslocado), salto (limites laterais diferentes), infinita (assíntota).
Polinômios são contínuos em todo ponto; funções racionais, onde o denominador não é 0.
TVI: em [a, b], uma função contínua f assume todos os valores entre f(a) e f(b).

Fontes deste curso (5)

OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 2 Limits: 2.1 A Preview of Calculus (tangent problem and area problem; secant slopes through (1, 1) on f(x) = x² with (2, 4) giving 3 and (3/2, 9/4) giving 2.5; rock s(t) = −16t² + 64 with average velocities −15.84 and −16.16 near t = 0.5; three rectangles under x² + 1 on [0, 3] giving 8: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
2.2 The Limit of a Function ((x² − 4)/(x − 2) → 4 at 2, (sin x)/x → 1 at 0 from a table, sin(1/x) has no limit at 0, one-sided limits of |x − 2|/(x − 2), infinite limits and vertical asymptotes, the formal definition appearing only in the late 19th century: .../pages/2-2-the-limit-of-a-function)
2.3 The Limit Laws (sum, difference, constant multiple, product, quotient, power and root laws; direct substitution; factoring and rationalizing 0/0 forms; squeeze theorem: .../pages/2-3-the-limit-laws)
2.4 Continuity (three conditions; removable, jump and infinite discontinuities; Intermediate Value Theorem: .../pages/2-4-continuity)
2.5 The Precise Definition of a Limit (.../pages/2-5-the-precise-definition-of-a-limit).

Data de verificação: 2026-10-17