Continuità
f(x) = x³ − x − 1 vale −1 in x = 1 e 5 in x = 2. Poiché non ha interruzioni, deve attraversare lo zero in un punto intermedio.
Tre condizioni
In modo informale, una funzione è continua se puoi tracciarne il grafico senza staccare la matita. L'immagine è utile, ma il calcolo richiede criteri verificabili. OpenStax indica tre condizioni perché f sia continua in un punto a. Primo: f(a) è definita. Secondo: limx→a f(x) esiste. Terzo: i due valori coincidono, cioè limx→a f(x) = f(a). Se una condizione manca, f è discontinua in a. Una funzione è continua su un intervallo se lo è in ogni suo punto.
Controlla le condizioni nell'ordine e fermati alla prima che manca. Per (x² − 4)/(x − 2) in 2 manca la prima, perché f(2) non è definita. Per la funzione uguale a x + 2 tranne che in f(2) = 1, le prime due valgono, con f(2) = 1 e limite 4, ma la terza no. Per x² in 1 valgono tutte: f(1) = 1, il limite è 1 e coincidono. I polinomi sono continui ovunque e le funzioni razionali dove il denominatore non è nullo: segue direttamente dalle operazioni sui limiti.
Tipi di discontinuità
Ci sono tre tipi di discontinuità, legati ai modi in cui può comportarsi un limite. Una discontinuità eliminabile ha un limite, ma la funzione non è definita nel punto oppure ha un valore sbagliato. Basta correggere un punto, definendo f(a) uguale al limite. Una discontinuità a salto ha entrambi i limiti unilaterali, ma diversi: il grafico fa un gradino. Una discontinuità infinita ha almeno un limite unilaterale uguale a ±∞, quindi un asintoto verticale. Le funzioni razionali mostrano il primo e il terzo tipo; quelle a tratti presentano spesso salti.
Un esercizio tipico sulle funzioni a tratti chiede di scegliere una costante affinché i pezzi si raccordino. Supponi f(x) = x + k per x < 1 e f(x) = 2x² per x ≥ 1. Il pezzo destro dà f(1) = 2 e limite destro 2. Il limite sinistro è 1 + k. Per la continuità in 1 devono coincidere: 1 + k = 2, quindi k = 1. Ogni altro k lascia un salto in x = 1.
Il teorema dei valori intermedi
La continuità ha una conseguenza potente. Il teorema dei valori intermedi afferma: se f è continua su un intervallo chiuso [a, b] e z è un numero qualsiasi fra f(a) e f(b), esiste almeno un c in [a, b] tale che f(c) = z. Una funzione continua non può saltare valori. Considera f(x) = x³ − x − 1: f(1) = −1 e f(2) = 5, quindi f assume il valore 0 fra 1 e 2. Il teorema garantisce una radice, senza dire dove sia. Dividendo ripetutamente l'intervallo a metà la trovi: f(1.5) = 0.875 > 0, quindi è in [1, 1.5]; f(1.25) ≈ −0.297 < 0, quindi è in [1.25, 1.5], e così via. La radice è circa 1.3247.
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- Quale condizione manca per (x² − 4)/(x − 2) in x = 2?
- f(2) non è definita
- Il limite non esiste
- Il limite non è 4
- Nessuna: è continua
- Che tipo di discontinuità ha (x² − 4)/(x − 2) in 2?
- Eliminabile
- A salto
- Infinita
- Nessuna
- Che tipo di discontinuità ha |x − 2|/(x − 2) in 2?
- A salto
- Eliminabile
- Infinita
- Nessuna
- Che tipo di discontinuità ha 1/(x − 2)² in 2?
- Infinita
- A salto
- Eliminabile
- Nessuna
- f(x) = x + k per x < 1 e 2x² per x ≥ 1. Quale k rende f continua in 1?
- f(x) = x³ − x − 1. Quanto vale f(1.5)?
- f(1) = −1 e f(1.5) = 0.875. Dove il teorema dei valori intermedi garantisce una radice?
- Fra 1 e 1.5
- Fra 1.5 e 2
- Esattamente in 1.25
- Da nessuna parte
- f(x) = x² − 2 ha una radice fra 1 e 2. Dividi due volte a metà: f(1.5) = 0.25 > 0, f(1.25) < 0. Qual è il punto medio dell'intervallo rimasto dopo questi due passi?
- Perché 1/x non contraddice il teorema dei valori intermedi su [−1, 1]?
- Non è continua su [−1, 1]
- Assume davvero il valore 0
- Il teorema vale solo per i polinomi
- f(−1) e f(1) sono uguali
- Dove è continua una funzione razionale?
- Ovunque il denominatore sia diverso da zero
- Ovunque
- Solo nei numeri interi
- Solo dove è positiva
- Continua in a: f(a) è definita, il limite esiste e i due coincidono.
- Eliminabile: buco o punto fuori posto. A salto: limiti unilaterali diversi. Infinita: asintoto.
- I polinomi sono continui ovunque; le funzioni razionali dove il denominatore non è 0.
- Teorema dei valori intermedi: su [a, b], una f continua assume ogni valore fra f(a) e f(b).
Fonti di questo corso (5)
- OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 2 Limits: 2.1 A Preview of Calculus (tangent problem and area problem; secant slopes through (1, 1) on f(x) = x² with (2, 4) giving 3 and (3/2, 9/4) giving 2.5; rock s(t) = −16t² + 64 with average velocities −15.84 and −16.16 near t = 0.5; three rectangles under x² + 1 on [0, 3] giving 8: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
- 2.2 The Limit of a Function ((x² − 4)/(x − 2) → 4 at 2, (sin x)/x → 1 at 0 from a table, sin(1/x) has no limit at 0, one-sided limits of |x − 2|/(x − 2), infinite limits and vertical asymptotes, the formal definition appearing only in the late 19th century: .../pages/2-2-the-limit-of-a-function)
- 2.3 The Limit Laws (sum, difference, constant multiple, product, quotient, power and root laws; direct substitution; factoring and rationalizing 0/0 forms; squeeze theorem: .../pages/2-3-the-limit-laws)
- 2.4 Continuity (three conditions; removable, jump and infinite discontinuities; Intermediate Value Theorem: .../pages/2-4-continuity)
- 2.5 The Precise Definition of a Limit (.../pages/2-5-the-precise-definition-of-a-limit).
Consultato il: 2026-10-17