Limiti
Cinque unità sull'idea che tiene insieme il calcolo infinitesimale. Parti dalle due domande che gli hanno dato origine, la pendenza di una curva e l'area sottostante, poi stimi i limiti con tabelle e grafici, incontri i limiti unilaterali e infiniti, usi le operazioni sui limiti per ottenere valori esatti e concludi con la continuità. Ogni unità include un laboratorio in cui avvicini x a un punto o accorci una secante, osservando i numeri stabilizzarsi.
Prima di iniziare
I limiti si calcolano su funzioni come (x² − 4)/(x − 2), quindi servono la notazione delle funzioni di Funzioni e la scomposizione esercitata in Funzioni ed equazioni di secondo grado. Anche le radici quadrate e la pendenza di una retta compaiono presto. Le lunghe tabelle di decimali le gestisce il laboratorio di analisi, così puoi concentrarti su ciò a cui si avvicinano i numeri.
Alla fine
Saprai spiegare come le secanti di y = x² si avvicinano a una tangente, stimare un limite da una tabella in cui 3.999 e 4.001 si avvicinano a 4 e distinguere i limiti da un lato. Saprai trovare gli asintoti verticali, trasformare 0/0 in un esatto 1/6 con le regole dei limiti, applicare il teorema del confronto e mostrare che x³ − x − 1 si annulla tra 1 e 2.
- 1Le due domande all'origine del calcoloSulla curva y = x², la retta per (1, 1) e (2, 4) ha pendenza 3. Spostando il secondo punto in (1.5, 2.25), la pendenza scende a 2.5.
- 2Il limite di una funzioneLa funzione (x² − 4)/(x − 2) non ha valore in x = 2, ma per x = 1.999 vale 3.999 e per 2.001 vale 4.001.
- 3Limiti unilaterali e infinitiAppena a sinistra di 2, |x − 2|/(x − 2) vale sempre −1; appena a destra vale sempre 1. I due lati non coincidono mai.
- 4Le operazioni sui limitiSostituendo x = 9 in (√x − 3)/(x − 9) ottieni 0/0. Moltiplica numeratore e denominatore per √x + 3: il limite risulta esattamente 1/6.
- 5Continuitàf(x) = x³ − x − 1 vale −1 in x = 1 e 5 in x = 2. Poiché non ha interruzioni, deve attraversare lo zero in un punto intermedio.
Fonti di questo corso (5)
- OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 2 Limits: 2.1 A Preview of Calculus (tangent problem and area problem; secant slopes through (1, 1) on f(x) = x² with (2, 4) giving 3 and (3/2, 9/4) giving 2.5; rock s(t) = −16t² + 64 with average velocities −15.84 and −16.16 near t = 0.5; three rectangles under x² + 1 on [0, 3] giving 8: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
- 2.2 The Limit of a Function ((x² − 4)/(x − 2) → 4 at 2, (sin x)/x → 1 at 0 from a table, sin(1/x) has no limit at 0, one-sided limits of |x − 2|/(x − 2), infinite limits and vertical asymptotes, the formal definition appearing only in the late 19th century: .../pages/2-2-the-limit-of-a-function)
- 2.3 The Limit Laws (sum, difference, constant multiple, product, quotient, power and root laws; direct substitution; factoring and rationalizing 0/0 forms; squeeze theorem: .../pages/2-3-the-limit-laws)
- 2.4 Continuity (three conditions; removable, jump and infinite discontinuities; Intermediate Value Theorem: .../pages/2-4-continuity)
- 2.5 The Precise Definition of a Limit (.../pages/2-5-the-precise-definition-of-a-limit).
Consultato il: 2026-10-17