Limites
Cinq unités pour comprendre l'idée qui relie toute l'analyse. Tu pars des deux questions à son origine, la pente d'une courbe et l'aire sous celle-ci, puis tu estimes des limites à l'aide de tableaux et de graphiques. Tu découvres les limites à gauche, à droite et infinies, calcules des valeurs exactes avec les opérations sur les limites et termines par la continuité. Chaque unité comprend un laboratoire où tu rapproches x d'un point ou réduis l'écart entre deux points d'une sécante pour voir les valeurs se stabiliser.
Avant de commencer
Les limites se calculent sur des fonctions comme (x² − 4)/(x − 2) ; tu as donc besoin de la notation des fonctions de Fonctions et de la factorisation travaillée dans Second degré. Les racines carrées et la pente d’une droite apparaissent aussi tôt. Le labo de calcul se charge des longs tableaux de décimaux, pour que tu puisses te concentrer sur ce dont les nombres s’approchent.
À la fin du cours
Tu sauras expliquer comment les sécantes de y = x² se rapprochent d’une tangente, estimer une limite à partir d’un tableau où 3.999 et 4.001 s’approchent de 4 et distinguer les limites à gauche et à droite. Tu trouveras des asymptotes verticales, transformeras 0/0 en un 1/6 exact avec les lois des limites, appliqueras le théorème des gendarmes et montreras que x³ − x − 1 s’annule entre 1 et 2.
- 1Les deux questions à l'origine de l'analyseSur la courbe y = x², la droite passant par (1, 1) et (2, 4) a pour pente 3. Déplace le second point vers (1.5, 2.25) : la pente descend à 2.5.
- 2La limite d'une fonctionLa fonction (x² − 4)/(x − 2) n'est pas définie en x = 2, mais elle vaut 3.999 en x = 1.999 et 4.001 en 2.001.
- 3Limites à gauche, à droite et infiniesJuste à gauche de 2, |x − 2|/(x − 2) vaut toujours −1 ; juste à droite, il vaut toujours 1. Les deux côtés ne coïncident jamais.
- 4Les opérations sur les limitesRemplace x par 9 dans (√x − 3)/(x − 9) : tu obtiens 0/0. Multiplie le numérateur et le dénominateur par √x + 3 : la limite vaut exactement 1/6.
- 5Continuitéf(x) = x³ − x − 1 vaut −1 en x = 1 et 5 en x = 2. Comme sa courbe n'a pas de coupure, elle doit passer par zéro entre les deux.
Sources de ce cours (5)
- OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 2 Limits: 2.1 A Preview of Calculus (tangent problem and area problem; secant slopes through (1, 1) on f(x) = x² with (2, 4) giving 3 and (3/2, 9/4) giving 2.5; rock s(t) = −16t² + 64 with average velocities −15.84 and −16.16 near t = 0.5; three rectangles under x² + 1 on [0, 3] giving 8: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
- 2.2 The Limit of a Function ((x² − 4)/(x − 2) → 4 at 2, (sin x)/x → 1 at 0 from a table, sin(1/x) has no limit at 0, one-sided limits of |x − 2|/(x − 2), infinite limits and vertical asymptotes, the formal definition appearing only in the late 19th century: .../pages/2-2-the-limit-of-a-function)
- 2.3 The Limit Laws (sum, difference, constant multiple, product, quotient, power and root laws; direct substitution; factoring and rationalizing 0/0 forms; squeeze theorem: .../pages/2-3-the-limit-laws)
- 2.4 Continuity (three conditions; removable, jump and infinite discontinuities; Intermediate Value Theorem: .../pages/2-4-continuity)
- 2.5 The Precise Definition of a Limit (.../pages/2-5-the-precise-definition-of-a-limit).
Consulté le: 2026-10-17