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Accueil›Analyse›Limites

Les opérations sur les limites

Remplace x par 9 dans (√x − 3)/(x − 9) : tu obtiens 0/0. Multiplie le numérateur et le dénominateur par √x + 3 : la limite vaut exactement 1/6.

Des estimations aux valeurs exactes

Les tableaux donnent de bonnes estimations, mais ne démontrent rien. Les opérations sur les limites permettent des calculs exacts en décomposant une fonction en éléments simples. Tout part de deux limites : limx→a x = a et limx→a c = c pour une constante c. Elles se lisent directement sur une courbe. Les règles indiquent ensuite comment combiner les limites. Supposons limx→a f(x) = L et limx→a g(x) = M, deux nombres réels.

  • Somme et différence : lim (f ± g) = L ± M.
  • Multiplication par une constante : lim c·f = c·L.
  • Produit : lim f·g = L·M.
  • Quotient : lim f/g = L/M, à condition que M ≠ 0.
  • Puissance : lim fn = Ln pour un entier n strictement positif.
  • Racine : lim n√f = n√L (pour n pair, L doit être supérieur ou égal à 0).

Appliquées successivement, ces règles montrent que, pour tout polynôme p, limx→a p(x) = p(a). Il en va de même pour une fonction rationnelle p(x)/q(x) partout où q(a) ≠ 0. Ainsi, si une fonction est construite à partir de x par des sommes, des produits et des quotients et que son dénominateur ne s'annule pas en a, il suffit généralement de remplacer x par a. C'est la substitution directe. Par exemple, limx→3 (2x² − 3x + 1) = 18 − 9 + 1 = 10, et limx→2 (x² + 1)/(x + 3) = 5/5 = 1.

Quand la substitution donne 0/0

Les limites intéressantes sont celles pour lesquelles la substitution échoue. Si le numérateur et le dénominateur tendent vers 0, la règle du quotient ne s'applique pas. La forme 0/0 ne permet encore aucune conclusion : la limite pourrait être n'importe quel nombre, ou ne pas exister. Il faut réécrire la fonction sous une forme plus simple, égale à la première pour x ≠ a. Premier outil : la factorisation. Dans (x² − 5x + 6)/(x − 3), le numérateur vaut (x − 2)(x − 3). Pour x ≠ 3, la fonction vaut donc x − 2 et sa limite en 3 est 1. La simplification est permise, car la limite n'utilise jamais x = 3 lui-même.

Deuxième outil : multiplier par l'expression conjuguée lorsqu'une racine carrée intervient. Pour (√x − 3)/(x − 9), multiplie le numérateur et le dénominateur par √x + 3. Le numérateur devient x − 9, qui se simplifie avec le dénominateur : il reste 1/(√x + 3). La substitution fonctionne alors : 1/(3 + 3) = 1/6. Troisième outil, pour les fractions composées : commence par réduire les petites fractions au même dénominateur. Ces trois méthodes éliminent le facteur qui annule les deux parties.

Le théorème des gendarmes

Certaines limites résistent à l'algèbre. Le théorème des gendarmes permet de les traiter : si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) près de a et si f et h ont toutes deux pour limite L en a, alors g a aussi pour limite L. Elle est prise entre les deux. OpenStax utilise ce théorème avec une figure du cercle unité pour démontrer que (sin θ)/θ tend vers 1 quand θ tend vers 0, une limite seulement estimée par un tableau dans l'unité 2. Elle sera déterminante pour établir la dérivée du sinus dans le cours sur les dérivées.

Avant toute factorisation, essaie la substitution. Si elle donne un réel avec un dénominateur non nul, ce nombre est la limite : c'est terminé. Seul un résultat 0/0 appelle les transformations précédentes ; un nombre non nul sur 0 indique plutôt une limite infinie.
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(sin x)/x près de 0. Approche des deux côtés : le théorème des gendarmes démontre la valeur 1 suggérée par le tableau.
  1. limx→3 (2x² − 3x + 1) = ?
  2. limx→2 (x² + 1)/(x + 3) = ?
  3. limx→3 (x² − 5x + 6)/(x − 3) = ?
  4. limx→9 (√x − 3)/(x − 9) = ? (valeur décimale, 3 décimales)
  5. limx→−1 (x² − 1)/(x + 1) = ?
  6. En a, lim f = 4 et lim g = −2. Combien vaut lim (3f − g) ?
  7. Avec les mêmes f et g : lim f·g = ?
  8. Avec les mêmes f et g : lim f/g = ?
  9. Avec la même f : lim f³ = ?
  10. La substitution donne 0/0. Que peux-tu en déduire sur la limite ?
    • Rien pour l'instant ; il faut réécrire la fonction
    • La limite vaut 0
    • La limite n'existe pas
    • La limite vaut 1
  11. Si 1 − x² ≤ g(x) ≤ 1 + x² près de 0, alors limx→0 g(x) vaut :
    • 1
    • 0
    • 2
    • inconnue
L'essentiel
  • Opérations sur les limites : sommes, multiplication par une constante, produits, quotients (dénominateur non nul), puissances et racines.
  • Polynômes et fonctions rationnelles avec q(a) ≠ 0 : substitue directement.
  • 0/0 : factorise, multiplie par l'expression conjuguée ou réduis les fractions, puis substitue.
  • Théorème des gendarmes : une fonction encadrée par deux fonctions de même limite possède cette limite.
Sources de ce cours (5)
  • OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 2 Limits: 2.1 A Preview of Calculus (tangent problem and area problem; secant slopes through (1, 1) on f(x) = x² with (2, 4) giving 3 and (3/2, 9/4) giving 2.5; rock s(t) = −16t² + 64 with average velocities −15.84 and −16.16 near t = 0.5; three rectangles under x² + 1 on [0, 3] giving 8: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
  • 2.2 The Limit of a Function ((x² − 4)/(x − 2) → 4 at 2, (sin x)/x → 1 at 0 from a table, sin(1/x) has no limit at 0, one-sided limits of |x − 2|/(x − 2), infinite limits and vertical asymptotes, the formal definition appearing only in the late 19th century: .../pages/2-2-the-limit-of-a-function)
  • 2.3 The Limit Laws (sum, difference, constant multiple, product, quotient, power and root laws; direct substitution; factoring and rationalizing 0/0 forms; squeeze theorem: .../pages/2-3-the-limit-laws)
  • 2.4 Continuity (three conditions; removable, jump and infinite discontinuities; Intermediate Value Theorem: .../pages/2-4-continuity)
  • 2.5 The Precise Definition of a Limit (.../pages/2-5-the-precise-definition-of-a-limit).

Consulté le: 2026-10-17