edubun
Bahasa Indonesia
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoРусскийBahasa Indonesia日本語
Beranda›Kalkulus›Limit

Aturan limit

Substitusi x = 9 ke (√x − 3)/(x − 9) menghasilkan 0/0. Kalikan pembilang dan penyebut dengan √x + 3, dan limitnya ternyata tepat 1/6.

Dari taksiran ke nilai tepat

Tabel memberi perkiraan yang baik, tetapi tidak membuktikan apa pun. Aturan limit memungkinkan perhitungan tepat dengan memecah fungsi menjadi bagian sederhana. Dua limit dasar menjadi awalnya: limx→a x = a, dan limx→a c = c untuk konstanta c. Keduanya jelas dari grafik. Aturan selanjutnya menjelaskan cara menggabungkan limit. Misalkan limx→a f(x) = L dan limx→a g(x) = M, keduanya bilangan real.

  • Jumlah dan selisih: lim (f ± g) = L ± M.
  • Kelipatan konstanta: lim c·f = c·L.
  • Perkalian: lim f·g = L·M.
  • Pembagian: lim f/g = L/M, asalkan M ≠ 0.
  • Pangkat: lim fn = Ln untuk bilangan bulat positif n.
  • Akar: lim n√f = n√L (untuk n genap, L harus paling sedikit 0).

Jika diterapkan berturut-turut, aturan ini menunjukkan bahwa untuk setiap polinom p, limx→a p(x) = p(a). Hal yang sama berlaku untuk fungsi rasional p(x)/q(x) selama q(a) ≠ 0. Jadi, jika fungsi dibangun dari x dengan penjumlahan, perkalian, dan pembagian, serta penyebut tidak nol pada a, biasanya cukup substitusikan nilainya. Ini disebut substitusi langsung. Contohnya, limx→3 (2x² − 3x + 1) = 18 − 9 + 1 = 10, dan limx→2 (x² + 1)/(x + 3) = 5/5 = 1.

Ketika substitusi menghasilkan 0/0

Limit yang memerlukan perhatian adalah yang gagal dihitung dengan substitusi. Jika pembilang dan penyebut sama-sama menuju 0, aturan pembagian tidak berlaku. Bentuk 0/0 belum memberi informasi: limitnya bisa bilangan apa saja atau tidak ada. Caranya adalah menulis ulang fungsi agar sama dengan fungsi yang lebih mudah untuk x ≠ a. Alat pertama ialah pemfaktoran. Untuk (x² − 5x + 6)/(x − 3), pembilangnya (x − 2)(x − 3), sehingga untuk x ≠ 3 fungsinya sama dengan x − 2 dan limit di 3 adalah 1. Pencoretan faktor sah karena limit tidak memakai x = 3 sendiri.

Alat kedua adalah mengalikan dengan bentuk sekawan ketika ada akar kuadrat. Untuk (√x − 3)/(x − 9), kalikan pembilang dan penyebut dengan √x + 3. Pembilang menjadi x − 9, yang dapat dicoret dengan penyebut, menyisakan 1/(√x + 3). Kini substitusi berhasil: 1/(3 + 3) = 1/6. Untuk pecahan bertingkat, alat ketiga adalah menyamakan penyebut pecahan kecil terlebih dahulu. Ketiganya melakukan hal serupa: menghilangkan faktor yang membuat kedua bagian nol.

Teorema apit

Beberapa limit sulit diselesaikan dengan aljabar. Teorema apit membantu: jika f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk x di dekat a, dan f serta h sama-sama memiliki limit L di a, maka limit g juga L. Fungsi itu terjepit. OpenStax menggunakannya dengan gambar lingkaran satuan untuk membuktikan bahwa (sin θ)/θ mendekati 1 saat θ mendekati 0, yang pada unit 2 hanya ditaksir lewat tabel. Limit ini menjadi langkah penting saat menghitung turunan sinus dalam kursus turunan.

Sebelum memfaktorkan, coba substitusi dulu. Jika diperoleh bilangan real dengan penyebut tidak nol, bilangan itulah limitnya dan perhitungan selesai. Hasil 0/0 memerlukan penulisan ulang seperti di atas, sedangkan bilangan tidak nol dibagi 0 mengarah ke limit tak hingga.
Memuat

Seret untuk memutar. Gulir atau rapatkan dan renggangkan dua jari untuk mengatur zoom.

(sin x)/x di dekat 0. Dekati dari kedua sisi; teorema apit membuktikan nilai yang terlihat di tabel, yaitu 1.
  1. limx→3 (2x² − 3x + 1) = ?
  2. limx→2 (x² + 1)/(x + 3) = ?
  3. limx→3 (x² − 5x + 6)/(x − 3) = ?
  4. limx→9 (√x − 3)/(x − 9) = ? (desimal, 3 angka di belakang titik)
  5. limx→−1 (x² − 1)/(x + 1) = ?
  6. lim f = 4 dan lim g = −2 di a. lim (3f − g) = ?
  7. Untuk f dan g yang sama: lim f·g = ?
  8. Untuk f dan g yang sama: lim f/g = ?
  9. Untuk f yang sama: lim f³ = ?
  10. Substitusi menghasilkan 0/0. Apa artinya bagi limit?
    • Belum dapat disimpulkan; tulis ulang fungsinya
    • Limitnya 0
    • Limitnya tidak ada
    • Limitnya 1
  11. Jika 1 − x² ≤ g(x) ≤ 1 + x² di dekat 0, maka limx→0 g(x) adalah:
    • 1
    • 0
    • 2
    • tidak diketahui
Poin penting
  • Aturan limit: penjumlahan, kelipatan, perkalian, pembagian (penyebut tidak nol), pangkat, dan akar.
  • Untuk polinom dan fungsi rasional dengan q(a) ≠ 0: substitusikan langsung.
  • 0/0: faktorkan, kalikan dengan sekawan, atau gabungkan pecahan, lalu substitusikan.
  • Teorema apit: fungsi yang terjepit di antara dua fungsi dengan limit sama memiliki limit itu juga.
Sumber kursus ini (5)
  • OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 2 Limits: 2.1 A Preview of Calculus (tangent problem and area problem; secant slopes through (1, 1) on f(x) = x² with (2, 4) giving 3 and (3/2, 9/4) giving 2.5; rock s(t) = −16t² + 64 with average velocities −15.84 and −16.16 near t = 0.5; three rectangles under x² + 1 on [0, 3] giving 8: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
  • 2.2 The Limit of a Function ((x² − 4)/(x − 2) → 4 at 2, (sin x)/x → 1 at 0 from a table, sin(1/x) has no limit at 0, one-sided limits of |x − 2|/(x − 2), infinite limits and vertical asymptotes, the formal definition appearing only in the late 19th century: .../pages/2-2-the-limit-of-a-function)
  • 2.3 The Limit Laws (sum, difference, constant multiple, product, quotient, power and root laws; direct substitution; factoring and rationalizing 0/0 forms; squeeze theorem: .../pages/2-3-the-limit-laws)
  • 2.4 Continuity (three conditions; removable, jump and infinite discontinuities; Intermediate Value Theorem: .../pages/2-4-continuity)
  • 2.5 The Precise Definition of a Limit (.../pages/2-5-the-precise-definition-of-a-limit).

Diperiksa: 2026-10-17