Dua pertanyaan di balik kalkulus

Pada kurva y = x², garis melalui (1, 1) dan (2, 4) memiliki gradien 3. Geser titik kedua ke (1.5, 2.25), dan gradiennya turun menjadi 2.5.

Gradien garis lurus mudah dihitung

Garis lurus berubah dengan laju yang sama di setiap titik. Pada f(x) = −2x − 3, setiap langkah 1 ke kanan menurunkan y sebesar 2, sehingga gradiennya selalu −2. Pada g(x) = (1/2)x + 1, y naik setengah satuan per langkah. Pada h(x) = 2, y tidak berubah, sehingga gradiennya 0. Bagian laju perubahan dalam bab limit OpenStax dimulai dengan ketiga garis ini karena menunjukkan arti laju perubahan ketika jawabannya berupa satu bilangan.

Sekarang lihat k(x) = x². Dari kiri, grafik turun tajam, lalu mendatar di dekat titik asal, kemudian naik makin cepat ke kanan. Tidak ada satu bilangan yang mewakili laju perubahannya di seluruh kurva. Kecuramannya bergantung pada posisi. Inilah masalah garis singgung: bagaimana mencari gradien kurva pada satu titik? Garis yang menyinggung kurva di sana memiliki gradien yang dicari, tetapi hanya melewati satu titik yang diketahui, sedangkan perhitungan gradien membutuhkan dua titik.

Garis sekan mendekati garis singgung

Caranya adalah memakai titik kedua yang juga terletak pada kurva. Garis melalui dua titik kurva disebut garis sekan, dengan gradien m = (f(x) − f(a))/(x − a). Untuk f(x) = x² pada a = 1, garis sekan melalui (2, 4) memiliki gradien (4 − 1)/(2 − 1) = 3. Melalui (1.5, 2.25), gradiennya (2.25 − 1)/0.5 = 2.5. Melalui (1.25, 1.5625), gradiennya 2.25. Saat titik kedua mendekati (1, 1), garis-garis sekan mendekati satu garis dan gradiennya mendekati 2. Garis itu adalah garis singgung, dengan gradien 2.

Cara yang sama menjawab pertanyaan fisika. OpenStax menjatuhkan batu dari ketinggian 64 kaki, dengan tinggi s(t) = −16t² + 64 setelah t detik. Kecepatan rata-rata pada selang waktu adalah perubahan tinggi dibagi perubahan waktu. Pada [0.49, 0.5], nilainya −15.84 kaki per detik; pada [0.5, 0.51], nilainya −16.16. Kecepatan sesaat pada t = 0.5 harus berada di antaranya. Memperkecil selang lagi mengarah ke −16. Kecepatan rata-rata adalah gradien garis sekan, sedangkan kecepatan sesaat adalah gradien garis singgung.

Masalah luas

Pertanyaan kedua menyangkut luas. Berapa luas antara grafik f(x) = x² + 1 dan sumbu x dari x = 0 hingga x = 3? Tidak ada rumus geometri biasa untuk daerah yang batas atasnya melengkung. Namun, luasnya dapat ditaksir dengan persegi panjang. Bagi [0, 3] menjadi tiga bagian selebar 1, lalu gunakan tinggi kurva di ujung kiri tiap bagian. Tinggi 1, 2, dan 5 menghasilkan luas 1, 2, dan 5, dengan jumlah 8. Persegi panjang yang lebih tipis mengikuti kurva dengan lebih rapat. Luas tepat adalah nilai yang didekati jumlah luas ketika lebarnya mendekati nol.

Kedua masalah berakhir dengan cara yang sama: hitung sesuatu yang bisa dihitung, seperti gradien garis sekan atau jumlah luas persegi panjang, lalu lihat apa yang terjadi ketika celah mendekati nol. Proses ini disebut mengambil limit. Masalah garis singgung berkembang menjadi kalkulus diferensial dan turunan; masalah luas menjadi kalkulus integral dan integral. Sisa kursus ini membahas limit agar dua kursus berikutnya memiliki dasar yang kuat.