微積分の出発点となった二つの問い

曲線y = x²上の(1, 1)と(2, 4)を通る直線の傾きは3です。二つ目の点を(1.5, 2.25)に動かすと、傾きは2.5に下がります。

直線の傾きは簡単に求まります

直線では、どこでも同じ割合で値が変わります。f(x) = −2x − 3では、右へ1進むたびにyが2下がるので、傾きはどの点でも−2です。g(x) = (1/2)x + 1では一歩ごとにyが半分だけ増え、h(x) = 2ではyが変わらないので傾きは0です。OpenStaxの極限の章では、変化率の節をこの三つの直線から始めています。変化率が一つの数で表せる場合を示すためです。

次にk(x) = x²を見ます。グラフは左から急に下がり、原点付近で平らになり、右へ行くほど急に上がります。変化の速さを一つの数で表すことはできません。傾きは場所によって違うからです。そこで「曲線上のある点での傾きをどう求めるか」という接線の問題が生まれます。その点で曲線に接する直線、つまり接線の傾きを求めたいのですが、既知の点は一つしかありません。傾きの計算には二点が必要です。

割線を接線に近づけます

曲線上にもう一つ点を取れば計算できます。曲線上の二点を通る直線を割線といい、その傾きはm = (f(x) − f(a))/(x − a)です。f(x) = x²、a = 1の場合、(2, 4)を通る割線の傾きは(4 − 1)/(2 − 1) = 3です。(1.5, 2.25)を通るなら(2.25 − 1)/0.5 = 2.5、(1.25, 1.5625)を通るなら2.25です。二つ目の点を(1, 1)へ近づけると、割線はある直線へ向きを変え、傾きは2に近づきます。その直線が接線で、傾きは2です。

同じ方法で物理の問いにも答えられます。OpenStaxでは64フィートの高さから石を落とし、t秒後の高さをs(t) = −16t² + 64としています。ある時間区間の平均速度は、高さの変化を時間の変化で割った値です。[0.49, 0.5]では毎秒−15.84フィート、[0.5, 0.51]では−16.16です。t = 0.5での瞬間速度はその間にあるはずで、区間をさらに縮めると−16に近づきます。平均速度は割線の傾き、瞬間速度は接線の傾きです。

面積を求める問題

もう一つの問いは面積です。x = 0からx = 3まで、f(x) = x² + 1のグラフとx軸の間の面積はいくらでしょうか。上辺が曲線の図形には、そのまま使える幾何の公式がありません。それでも長方形で見積もれます。[0, 3]を幅1の三つの区間に分け、それぞれ左端の曲線の高さを使います。高さ1、2、5の長方形の面積は1、2、5なので、合計は8です。長方形を細くするほど曲線に沿いやすくなります。幅を限りなくゼロに近づけたときに面積の和が近づく値が、正確な面積です。

どちらも最後は同じです。計算できるもの、つまり割線の傾きや長方形の面積の和を計算し、間隔をゼロに近づけたときどうなるかを考えます。これを極限を求めるといいます。接線の問題は微分法と導関数へ、面積の問題は積分法と積分へと発展します。このコースでは極限そのものを学び、続く二つのコースの土台を固めます。