関数の極限
関数(x² − 4)/(x − 2)はx = 2で未定義ですが、x = 1.999では3.999、2.001では4.001になります。
ある点の近くで何が起こるか
f(x) = (x² − 4)/(x − 2)を考えます。x = 2を代入すると0/0となり、これは数ではないのでf(2)は未定義です。しかし、それだけでは様子がわかりません。2に近い値を試すと、f(1.9) = 3.9、f(1.99) = 3.99、f(2.01) = 4.01、f(2.1) = 4.1です。どちら側からも値は4に近づきます。これをlimx→2 f(x) = 4と書き、「xを2に近づけたときのf(x)の極限は4」と読みます。因数分解すると理由がわかります。x² − 4 = (x − 2)(x + 2)なので、xが2以外ならf(x) = x + 2です。グラフは直線y = x + 2から一点を除いたものです。
OpenStaxでは直感的な定義を次のように述べています。aを含む開区間で、a自身を除いてfが定義されているとします。xをaに近づけるとき（xはaと異なります）、f(x)の値がすべて実数Lに近づくなら、その極限はLです。「a自身を除いて」が重要です。極限が表すのはaの近くの値であり、aでの値ではありません。aで未定義でも、別の値が定義されていても、極限と同じ値でも、極限自体は同じになり得ます。
| x | f(x) | x | f(x) |
|---|---|---|---|
| 1.9 | 3.9 | 2.1 | 4.1 |
| 1.99 | 3.99 | 2.01 | 4.01 |
| 1.999 | 3.999 | 2.001 | 4.001 |
表から見積もります
OpenStaxでは、aより小さい側と大きい側から近づくxの列を作り、出力がどこへ向かうかを読む方法を示しています。limx→0 (sin x)/xで、xをラジアンで測ると、sin(0.1)/0.1 ≈ 0.998334、sin(0.01)/0.01 ≈ 0.999983です。偶関数なので−0.1と−0.01でも同じ値になります。値は1に近づくので極限は1です。ここでは因数分解のような工夫は使えず、表とグラフが手がかりになります。後の節でははさみうちの原理で証明します。
表の行が少なすぎると判断を誤ることがあります。電卓の桁数には限りがあり、xが2に極端に近いと(x² − 4)と(x − 2)の丸め誤差が大きくなります。複数の行で両側を調べ、可能ならグラフや式でも確かめましょう。逆にグラフは傾向を見やすい一方、正確な値はわかりません。組み合わせればよい見積もりができ、第4単元の極限の法則を使えば、多くの場合に正確な答えが求まります。
上の図は、g(−1) = 4でも−1の近くの値は3に近づく、OpenStaxの例2.6と同じことを示しています。ここでは2以外で関数はx + 2と等しく、f(2) = 1と定義されています。2付近の出力は依然として4に近づくので、極限は4、関数値は1です。極限と関数値は異なることがあります。一致するとき、その点で連続といいます。これは第5単元で学びます。
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- f(x) = (x² − 4)/(x − 2)のとき、f(2.01)は？
- limx→3 (x² − 9)/(x − 3) = ?
- limx→1 (x² − 1)/(x − 1) = ?
- 表を使って、limx→2 (x³ − 8)/(x − 2) = ? （x = 1.999と2.001を試しましょう。）
- sin(0.1)/0.1を小数第4位まで表すと？（xはラジアンです。）
- limx→0 (sin x)/x = ?
- x ≠ 2ではg(x) = x + 2、g(2) = 1のとき、limx→2 g(x)は？
- 4
- 1
- 存在しません
- 2
- limx→a f(x)は関数値f(a)に依存しますか？
- いいえ
- はい
- 多項式の場合だけです
- f(a) = 0の場合だけです
- limx→−1 (x² + 3x + 2)/(x + 1) = ?
- aの両側のxの値を調べるのはなぜですか？
- 両側で異なる数に近づく場合があるからです
- 電卓の精度が倍になるからです
- 右側だけが重要だからです
- 表の行数を偶数にするためです
- limx→a f(x) = Lとは、xがaに近づくと（x ≠ a）、f(x)がLに近づくことです。
- 関数値f(a)は極限に影響しません。
- 表で両側から調べ、グラフと合わせて見積もります。
- ある点で0/0になるなら、因数分解などの工夫が必要です。
このコースの出典 (5)
- OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 2 Limits: 2.1 A Preview of Calculus (tangent problem and area problem; secant slopes through (1, 1) on f(x) = x² with (2, 4) giving 3 and (3/2, 9/4) giving 2.5; rock s(t) = −16t² + 64 with average velocities −15.84 and −16.16 near t = 0.5; three rectangles under x² + 1 on [0, 3] giving 8: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
- 2.2 The Limit of a Function ((x² − 4)/(x − 2) → 4 at 2, (sin x)/x → 1 at 0 from a table, sin(1/x) has no limit at 0, one-sided limits of |x − 2|/(x − 2), infinite limits and vertical asymptotes, the formal definition appearing only in the late 19th century: .../pages/2-2-the-limit-of-a-function)
- 2.3 The Limit Laws (sum, difference, constant multiple, product, quotient, power and root laws; direct substitution; factoring and rationalizing 0/0 forms; squeeze theorem: .../pages/2-3-the-limit-laws)
- 2.4 Continuity (three conditions; removable, jump and infinite discontinuities; Intermediate Value Theorem: .../pages/2-4-continuity)
- 2.5 The Precise Definition of a Limit (.../pages/2-5-the-precise-definition-of-a-limit).
確認日: 2026-10-17