함수의 극한

함수 (x² − 4)/(x − 2)는 x = 2에서 값이 없는데, x = 1.999에서는 3.999, 2.001에서는 4.001이 나옵니다.

한 점의 근처에서 생기는 일

f(x) = (x² − 4)/(x − 2)를 봅시다. 이 식에 x = 2를 넣으면 0/0이 되는데, 0/0은 수가 아니므로 f(2)는 정의되지 않습니다. 하지만 그렇게만 말하고 끝내면 이 함수에 대해 너무 빈약한 그림만 얻게 됩니다. 그 대신 2에 가까운 값들을 넣어 보면 f(1.9) = 3.9, f(1.99) = 3.99, f(2.01) = 4.01, f(2.1) = 4.1입니다. 2보다 작은 쪽과 큰 쪽, 양쪽 모두에서 출력값이 4로 모여듭니다. 이것을 기호로 lim_x→2 f(x) = 4라고 쓰고, x가 2로 다가갈 때 f(x)의 극한은 4라고 읽습니다. 식을 인수분해해 보면 그 이유가 보입니다. x² − 4 = (x − 2)(x + 2)이므로 2가 아닌 모든 x에서 f(x) = x + 2입니다. 그래서 이 함수의 그래프는 점 하나가 빠진 직선 y = x + 2입니다.

OpenStax 교재는 극한의 직관적인 정의를 이렇게 씁니다. 함수 f가 a를 포함하는 어떤 열린 구간에서 정의되어 있다고 합시다. 다만 a 자체에서는 정의되지 않아도 됩니다. 이때 x(a가 아님)가 a로 다가감에 따라 f(x)의 모든 값이 어떤 실수 L로 다가가면, x가 a로 다가갈 때 f(x)의 극한은 L입니다. 이 정의에서는 「a 자체에서는 정의되지 않아도 된다」는 부분이 가장 중요합니다. 극한은 a 근처의 값들을 말할 뿐이고, a에서의 값은 결코 말하지 않습니다. 함수가 a에서 정의되지 않거나, 다른 값으로 정의되거나, 같은 값으로 정의되어도 세 경우 모두 극한은 같을 수 있습니다.

표로 어림하기

OpenStax 교재가 문제를 풀 때 권하는 방법은 x값을 두 줄로 만드는 것입니다. 한 줄은 a보다 작은 쪽에서, 다른 한 줄은 a보다 큰 쪽에서 a로 다가가게 만들고, 그때 출력값이 어디로 가는지를 읽습니다. 라디안으로 잰 x에 대해 lim_x→0 (sin x)/x를 보면 sin(0.1)/0.1 ≈ 0.998334, sin(0.01)/0.01 ≈ 0.999983이고, 이 함수는 우함수라서 −0.1, −0.01에서도 값이 같습니다. 이 값들이 1로 다가가므로 극한은 1입니다. 이 경우에는 인수분해 같은 대수 요령이 없습니다. 그래서 표와 그래프가 근거가 되고, 뒤의 절에서 조임 정리로 이것을 증명합니다.

행이 너무 적은 표를 그대로 믿으면 속을 수 있습니다. 계산기는 다룰 수 있는 자릿수가 한정되어 있어서 x가 2에 아주 가까우면 (x² − 4)와 (x − 2)를 크게 반올림할 수 있습니다. 그러니 표에는 행을 여러 개 쓰고, 양쪽에서 다가가는 값을 모두 확인하세요. 그리고 할 수 있다면 그래프나 대수 계산으로 표를 뒷받침하세요. 그래프는 표와 반대의 약점이 있습니다. 경향은 또렷하게 보여 주지만 정확한 값은 주지 않습니다. 표와 그래프를 함께 쓰면 좋은 어림값을 얻을 수 있고, 4단원의 극한 법칙이 많은 어림값을 정확한 답으로 바꿔 줍니다.

위 그림은 OpenStax 교재 예제 2.6의 그래프와 같은 내용을 보여 줍니다. 그 예제에서는 g(−1) = 4인데 −1 근처의 값은 3으로 모입니다. 여기 그림의 함수는 2를 뺀 모든 곳에서 x + 2와 같고, 2에서만 누군가 f(2) = 1로 따로 정해 두었습니다. 2 근처에서 출력은 여전히 4로 모이므로 극한은 4이고, 함숫값은 1입니다. 이처럼 극한과 함숫값은 서로 다를 수 있습니다. 둘이 같을 때 그 점에서 함수가 연속이라고 하며, 연속은 5단원에서 다룹니다.