Home›Analyse›Limieten

De limiet van een functie

De functie (x² − 4)/(x − 2) heeft geen waarde bij x = 2. Toch geeft die bij x = 1.999 de waarde 3.999 en bij 2.001 de waarde 4.001.

Wat er dicht bij een punt gebeurt

Neem f(x) = (x² − 4)/(x − 2). Vul x = 2 in en je krijgt 0/0. Dat is geen getal, dus f(2) is niet gedefinieerd. Daarmee is nog weinig gezegd. Probeer waarden dicht bij 2: f(1.9) = 3.9, f(1.99) = 3.99, f(2.01) = 4.01, f(2.1) = 4.1. Van beide kanten naderen de uitkomsten 4. We schrijven lim_x→2 f(x) = 4, gelezen als: de limiet van f(x) als x naar 2 gaat is 4. Na ontbinden zie je waarom: x² − 4 = (x − 2)(x + 2), dus voor elke x behalve 2 geldt f(x) = x + 2. De grafiek is de lijn y = x + 2 met één ontbrekend punt.

OpenStax geeft deze intuïtieve definitie. Stel dat f gedefinieerd is op een open interval rond a, behalve mogelijk in a zelf. Als alle waarden van f(x) het reële getal L naderen wanneer x (ongelijk aan a) naar a gaat, dan is de limiet van f(x) als x naar a gaat gelijk aan L. Vooral ‘behalve mogelijk in a zelf’ is belangrijk. Met de limiet beschrijf je waarden dicht bij a, nooit de waarde in a. Een functie kan in a niet gedefinieerd zijn, een andere waarde hebben of dezelfde waarde hebben. De limiet kan in alle drie de gevallen gelijk zijn.

x	f(x)	x	f(x)
1.9	3.9	2.1	4.1
1.99	3.99	2.01	4.01
1.999	3.999	2.001	4.001

Schatten met een tabel

De aanpak van OpenStax is twee kolommen met x-waarden maken: één die a van onderen nadert en één van bovenaf. Lees af waar de uitkomsten naartoe gaan. Voor lim_x→0 (sin x)/x, met x in radialen, geldt sin(0.1)/0.1 ≈ 0.998334 en sin(0.01)/0.01 ≈ 0.999983. De waarden bij −0.1 en −0.01 zijn gelijk, want de functie is even. De waarden naderen 1, dus de limiet is 1. Hier is geen algebraïsche truc zoals ontbinden. De tabel en de grafiek geven de aanwijzing; later bewijs je het met de insluitstelling.

Tabellen kunnen misleiden als je op te weinig rijen vertrouwt. Een rekenmachine gebruikt een beperkt aantal cijfers. Voor x heel dicht bij 2 kunnen (x² − 4) en (x − 2) daardoor onnauwkeurig worden afgerond. Gebruik meerdere rijen, controleer beide kanten en ondersteun de tabel waar mogelijk met een grafiek of algebra. Bij een grafiek is het zwakke punt omgekeerd: je ziet de trend goed, maar geen exacte waarde. Samen geven ze een goede schatting. Met de limietregels in hoofdstuk 4 maak je van veel schattingen exacte antwoorden.

De lijn y = x + 2 met een gat in (2, 4) en de waarde f(2) = 1 op een andere plek. De limiet bij 2 blijft 4.

De figuur hierboven laat hetzelfde zien als de grafiek in voorbeeld 2.6 van OpenStax. Daar is g(−1) = 4, terwijl de waarden bij −1 in de buurt 3 naderen. Hier is de functie overal gelijk aan x + 2, behalve bij 2, waar f(2) = 1 is vastgelegd. Rond 2 naderen de uitkomsten nog steeds 4, dus de limiet is 4 terwijl de functiewaarde 1 is. Een limiet en een functiewaarde kunnen verschillen. Zijn ze gelijk, dan heet de functie continu in dat punt. Daarover gaat hoofdstuk 5.

AchtergrondLimietprocessen zijn oud. OpenStax merkt op dat vroege wiskundigen ze gebruikten voor steeds nauwkeurigere benaderingen van de oppervlakte van een cirkel. Archimedes sloot bijvoorbeeld een cirkel in tussen regelmatige veelhoeken met 96 zijden: één erin en één eromheen. De formele limietdefinitie van nu verscheen pas aan het einde van de 19e eeuw. De analyse werd al bijna twee eeuwen intensief gebruikt voordat iemand precies kon zeggen wat een limiet was. Een goede reden om net als toen met tabellen en beelden te beginnen.

Laden

Sleep om te draaien. Scroll of knijp om te zoomen.

f(x) = (x² − 4)/(x − 2). Beweeg x vanaf beide kanten naar 2 of druk op ‘Naderen’. De tabel toont f(2 ± 0.1) tot en met f(2 ± 0.0001).

f(x) = (x² − 4)/(x − 2). Wat is f(2.01)?
lim_x→3 (x² − 9)/(x − 3) = ?
lim_x→1 (x² − 1)/(x − 1) = ?
Bepaal met een tabel lim_x→2 (x³ − 8)/(x − 2) = ? Probeer x = 1.999 en 2.001.
Wat is sin(0.1)/0.1 op vier decimalen, met x in radialen?
lim_x→0 (sin x)/x = ?
g(x) = x + 2 voor x ≠ 2 en g(2) = 1. Wat is lim_x→2 g(x)?
- 4
- 1
- Die bestaat niet
- 2
Hangt lim_x→a f(x) af van de waarde f(a)?
- Nee
- Ja
- Alleen bij veeltermen
- Alleen als f(a) = 0
lim_x→−1 (x² + 3x + 2)/(x + 1) = ?
Waarom controleer je x-waarden aan beide kanten van a?
- Beide kanten kunnen verschillende getallen naderen
- Het verdubbelt de nauwkeurigheid van de rekenmachine
- Alleen de rechterkant telt
- De tabel moet een even aantal rijen hebben

Belangrijkste punten

lim_x→a f(x) = L: als x dicht bij a komt (x ≠ a), komt f(x) dicht bij L.
De waarde f(a) heeft geen invloed op de limiet.
Schat met een tabel vanaf beide kanten en met een grafiek.
0/0 in een punt betekent dat je verder moet rekenen, vaak door te ontbinden.

Bronnen van deze cursus (5)

OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 2 Limits: 2.1 A Preview of Calculus (tangent problem and area problem; secant slopes through (1, 1) on f(x) = x² with (2, 4) giving 3 and (3/2, 9/4) giving 2.5; rock s(t) = −16t² + 64 with average velocities −15.84 and −16.16 near t = 0.5; three rectangles under x² + 1 on [0, 3] giving 8: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
2.2 The Limit of a Function ((x² − 4)/(x − 2) → 4 at 2, (sin x)/x → 1 at 0 from a table, sin(1/x) has no limit at 0, one-sided limits of |x − 2|/(x − 2), infinite limits and vertical asymptotes, the formal definition appearing only in the late 19th century: .../pages/2-2-the-limit-of-a-function)
2.3 The Limit Laws (sum, difference, constant multiple, product, quotient, power and root laws; direct substitution; factoring and rationalizing 0/0 forms; squeeze theorem: .../pages/2-3-the-limit-laws)
2.4 Continuity (three conditions; removable, jump and infinite discontinuities; Intermediate Value Theorem: .../pages/2-4-continuity)
2.5 The Precise Definition of a Limit (.../pages/2-5-the-precise-definition-of-a-limit).

Geraadpleegd: 2026-10-17