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Der Grenzwert einer Funktion

Die Funktion (x² − 4)/(x − 2) hat bei x = 2 keinen Wert. Bei x = 1.999 ergibt sie aber 3.999 und bei 2.001 den Wert 4.001.

Was in der Nähe einer Stelle passiert

Nimm f(x) = (x² − 4)/(x − 2). Setzt du x = 2 ein, erhältst du 0/0. Das ist keine Zahl, also ist f(2) nicht definiert. Damit allein ist die Funktion aber schlecht beschrieben. Probiere Werte nahe bei 2: f(1.9) = 3.9, f(1.99) = 3.99, f(2.01) = 4.01, f(2.1) = 4.1. Von beiden Seiten nähern sich die Funktionswerte 4. Wir schreiben lim_x→2 f(x) = 4 und lesen: Der Grenzwert von f(x) für x gegen 2 ist 4. Nach dem Faktorisieren sieht man den Grund: x² − 4 = (x − 2)(x + 2), also gilt für alle x außer 2 die Gleichung f(x) = x + 2. Der Graph ist die Gerade y = x + 2, der ein Punkt fehlt.

OpenStax formuliert die anschauliche Definition so: f sei auf einem offenen Intervall um a definiert, möglicherweise mit Ausnahme von a selbst. Nähern sich alle Werte f(x) der reellen Zahl L, wenn x (ungleich a) sich a nähert, dann ist der Grenzwert von f(x) für x gegen a gleich L. Entscheidend ist „möglicherweise mit Ausnahme von a selbst“. Der Grenzwert beschreibt die Werte nahe bei a, nie den Wert an der Stelle a. Eine Funktion kann dort undefiniert sein, einen anderen Wert oder denselben Wert haben. Der Grenzwert kann in allen drei Fällen gleich sein.

x	f(x)	x	f(x)
1.9	3.9	2.1	4.1
1.99	3.99	2.01	4.01
1.999	3.999	2.001	4.001

Mit einer Tabelle schätzen

OpenStax empfiehlt zwei Spalten mit x-Werten: Eine nähert sich a von unten, die andere von oben. Lies ab, wohin die Funktionswerte gehen. Für lim_x→0 (sin x)/x mit x im Bogenmaß gilt: sin(0.1)/0.1 ≈ 0.998334 und sin(0.01)/0.01 ≈ 0.999983. Die Werte für −0.1 und −0.01 sind gleich, da die Funktion gerade ist. Die Werte nähern sich 1, also ist der Grenzwert 1. Hier gibt es keinen algebraischen Kniff wie das Faktorisieren. Tabelle und Graph liefern die Hinweise; später wird das Ergebnis mit dem Sandwichsatz bewiesen.

Tabellen können täuschen, wenn du zu wenigen Zeilen vertraust. Ein Taschenrechner arbeitet mit begrenzter Stellenzahl und kann bei x sehr nahe an 2 die Ausdrücke (x² − 4) und (x − 2) ungünstig runden. Nutze mehrere Zeilen, prüfe beide Seiten und ergänze die Tabelle möglichst durch einen Graphen oder algebraische Rechnung. Ein Graph hat die umgekehrte Schwäche: Er zeigt den Verlauf deutlich, liefert aber keinen exakten Wert. Zusammen ergeben beide eine gute Schätzung. Die Grenzwertsätze in Einheit 4 machen viele Schätzungen zu exakten Ergebnissen.

Die Gerade y = x + 2 mit einer Lücke bei (2, 4) und dem anderswo gesetzten Wert f(2) = 1. Der Grenzwert bei 2 bleibt 4.

Die Abbildung zeigt dasselbe wie der Graph in OpenStax, Beispiel 2.6: Dort ist g(−1) = 4, aber die Werte nahe −1 nähern sich 3. Hier ist die Funktion überall x + 2, außer bei 2, wo f(2) = 1 festgelegt wurde. Nahe 2 nähern sich die Werte weiterhin 4. Der Grenzwert ist also 4, der Funktionswert hingegen 1. Beide können sich unterscheiden. Stimmen sie überein, heißt die Funktion an dieser Stelle stetig. Das behandelt Einheit 5.

HintergrundGrenzprozesse sind alt. OpenStax berichtet, dass frühe Mathematiker damit die Fläche eines Kreises immer genauer annäherten. Archimedes schloss etwa einen Kreis zwischen regelmäßigen Vielecken mit 96 Seiten ein, eines innen und eines außen. Die formale Grenzwertdefinition in ihrer heutigen Form entstand erst gegen Ende des 19. Jahrhunderts. Die Analysis war fast zwei Jahrhunderte lang in regem Gebrauch, bevor jemand genau sagen konnte, was ein Grenzwert ist. Ein guter Grund, wie damals mit Tabellen und Bildern zu beginnen.

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f(x) = (x² − 4)/(x − 2). Bewege x von einer der beiden Seiten auf 2 zu oder drücke „Annähern“. Die Tabelle zeigt f(2 ± 0.1) bis f(2 ± 0.0001).

f(x) = (x² − 4)/(x − 2). Was ist f(2.01)?
lim_x→3 (x² − 9)/(x − 3) = ?
lim_x→1 (x² − 1)/(x − 1) = ?
Bestimme mit einer Tabelle lim_x→2 (x³ − 8)/(x − 2). (Probiere x = 1.999 und 2.001.)
sin(0.1)/0.1 auf vier Nachkommastellen (x im Bogenmaß)?
lim_x→0 (sin x)/x = ?
g(x) = x + 2 für x ≠ 2 und g(2) = 1. Was ist lim_x→2 g(x)?
- 4
- 1
- Er existiert nicht
- 2
Hängt lim_x→a f(x) vom Wert f(a) ab?
- Nein
- Ja
- Nur bei Polynomen
- Nur wenn f(a) = 0
lim_x→−1 (x² + 3x + 2)/(x + 1) = ?
Warum prüft man x-Werte auf beiden Seiten von a?
- Die beiden Seiten könnten sich unterschiedlichen Zahlen nähern
- Das verdoppelt die Genauigkeit des Taschenrechners
- Nur die rechte Seite zählt
- Die Tabelle braucht eine gerade Zeilenzahl

Das Wichtigste

lim_x→a f(x) = L: Wenn x sich a nähert (x ≠ a), nähert sich f(x) dem Wert L.
Der Wert f(a) beeinflusst den Grenzwert nicht.
Schätze mit einer Tabelle von beiden Seiten und mit einem Graphen.
0/0 an einer Stelle bedeutet, dass weitere Schritte nötig sind, oft Faktorisieren.

Quellen zu diesem Kurs (5)

OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 2 Limits: 2.1 A Preview of Calculus (tangent problem and area problem; secant slopes through (1, 1) on f(x) = x² with (2, 4) giving 3 and (3/2, 9/4) giving 2.5; rock s(t) = −16t² + 64 with average velocities −15.84 and −16.16 near t = 0.5; three rectangles under x² + 1 on [0, 3] giving 8: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
2.2 The Limit of a Function ((x² − 4)/(x − 2) → 4 at 2, (sin x)/x → 1 at 0 from a table, sin(1/x) has no limit at 0, one-sided limits of |x − 2|/(x − 2), infinite limits and vertical asymptotes, the formal definition appearing only in the late 19th century: .../pages/2-2-the-limit-of-a-function)
2.3 The Limit Laws (sum, difference, constant multiple, product, quotient, power and root laws; direct substitution; factoring and rationalizing 0/0 forms; squeeze theorem: .../pages/2-3-the-limit-laws)
2.4 Continuity (three conditions; removable, jump and infinite discontinuities; Intermediate Value Theorem: .../pages/2-4-continuity)
2.5 The Precise Definition of a Limit (.../pages/2-5-the-precise-definition-of-a-limit).

Abgerufen: 2026-10-17