Il limite di una funzione

La funzione (x² − 4)/(x − 2) non ha valore in x = 2, ma per x = 1.999 vale 3.999 e per 2.001 vale 4.001.

Cosa accade vicino a un punto

Prendi f(x) = (x² − 4)/(x − 2). Sostituendo x = 2 ottieni 0/0, che non è un numero: f(2) non è definita. Fermarsi qui, però, dice poco. Prova valori vicini a 2: f(1.9) = 3.9, f(1.99) = 3.99, f(2.01) = 4.01, f(2.1) = 4.1. Da entrambi i lati i risultati si avvicinano a 4. Scriviamo lim_x→2 f(x) = 4 e leggiamo: il limite di f(x) per x che tende a 2 è 4. Il motivo appare scomponendo: x² − 4 = (x − 2)(x + 2), quindi per ogni x diverso da 2 vale f(x) = x + 2. Il grafico è la retta y = x + 2 con un punto mancante.

OpenStax presenta così la definizione intuitiva. Sia f definita in un intervallo aperto contenente a, tranne eventualmente in a. Se tutti i valori di f(x) si avvicinano al numero reale L quando x, diverso da a, si avvicina ad a, allora il limite di f(x) per x che tende ad a è L. Il punto decisivo è «tranne eventualmente in a». Il limite descrive i valori vicino ad a, mai il valore in a. La funzione può non essere definita in a, avere lì un valore diverso o avere lo stesso valore: il limite può restare identico in tutti e tre i casi.

x	f(x)	x	f(x)
1.9	3.9	2.1	4.1
1.99	3.99	2.01	4.01
1.999	3.999	2.001	4.001

Stimare con una tabella

La strategia proposta da OpenStax consiste nel costruire due colonne di valori di x: una che si avvicina ad a dal basso e una dall'alto, osservando dove vanno i risultati. Per lim_x→0 (sin x)/x, con x in radianti: sin(0.1)/0.1 ≈ 0.998334, sin(0.01)/0.01 ≈ 0.999983. I valori per −0.1 e −0.01 sono uguali perché la funzione è pari. I risultati si avvicinano a 1, quindi il limite è 1. Qui non c'è un trucco algebrico come la scomposizione: tabella e grafico forniscono gli indizi, e una sezione successiva lo dimostra con il teorema del confronto.

Una tabella può ingannare se ti fidi di poche righe. Una calcolatrice usa un numero limitato di cifre e, per x estremamente vicino a 2, può arrotondare male (x² − 4) e (x − 2). Usa più righe, controlla entrambi i lati e, quando puoi, affianca un grafico o un calcolo algebrico. Il grafico ha il limite opposto: mostra bene l'andamento, ma non dà un valore esatto. Insieme permettono una buona stima; le operazioni sui limiti dell'unità 4 trasformano molte stime in risposte esatte.

La retta y = x + 2 con un buco in (2, 4) e il valore f(2) = 1 collocato altrove. Il limite in 2 resta 4.

La figura mostra la stessa idea del grafico nell'esempio 2.6 di OpenStax, dove g(−1) = 4 ma i valori vicino a −1 tendono a 3. Qui la funzione vale x + 2 ovunque tranne in 2, dove è stato definito f(2) = 1. Vicino a 2 i risultati continuano ad avvicinarsi a 4: il limite è 4, mentre il valore è 1. Limite e valore possono essere diversi. Quando coincidono, la funzione si dice continua nel punto: è l'argomento dell'unità 5.

ContestoI procedimenti di limite sono antichi. OpenStax ricorda che i primi matematici li usavano per approssimare sempre meglio l'area del cerchio. Archimede, per esempio, racchiuse un cerchio fra due poligoni regolari di 96 lati, uno interno e uno esterno. La definizione formale odierna di limite arrivò solo alla fine del 19° secolo. Il calcolo era già ampiamente usato da quasi due secoli prima che si potesse dire con precisione cosa fosse un limite: un buon motivo per partire, come allora, da tabelle e figure.

Caricamento

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f(x) = (x² − 4)/(x − 2). Avvicina x a 2 da entrambi i lati oppure premi Avvicina. La tabella mostra da f(2 ± 0.1) a f(2 ± 0.0001).

f(x) = (x² − 4)/(x − 2). Quanto vale f(2.01)?
lim_x→3 (x² − 9)/(x − 3) = ?
lim_x→1 (x² − 1)/(x − 1) = ?
Usando una tabella, lim_x→2 (x³ − 8)/(x − 2) = ? Prova x = 1.999 e 2.001.
sin(0.1)/0.1 con quattro cifre decimali, con x in radianti?
lim_x→0 (sin x)/x = ?
g(x) = x + 2 per x ≠ 2 e g(2) = 1. Quanto vale lim_x→2 g(x)?
- 4
- 1
- Non esiste
- 2
lim_x→a f(x) dipende dal valore f(a)?
- No
- Sì
- Solo per i polinomi
- Solo se f(a) = 0
lim_x→−1 (x² + 3x + 2)/(x + 1) = ?
Perché controllare valori di x da entrambi i lati di a?
- I due lati potrebbero avvicinarsi a numeri diversi
- Raddoppia la precisione della calcolatrice
- Conta solo il lato destro
- La tabella deve avere un numero pari di righe

Punti chiave

lim_x→a f(x) = L: quando x si avvicina ad a (x ≠ a), f(x) si avvicina a L.
Il valore f(a) non influisce sul limite.
Stima con una tabella da entrambi i lati e con un grafico.
0/0 in un punto richiede altro lavoro, spesso una scomposizione.

Fonti di questo corso (5)

OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 2 Limits: 2.1 A Preview of Calculus (tangent problem and area problem; secant slopes through (1, 1) on f(x) = x² with (2, 4) giving 3 and (3/2, 9/4) giving 2.5; rock s(t) = −16t² + 64 with average velocities −15.84 and −16.16 near t = 0.5; three rectangles under x² + 1 on [0, 3] giving 8: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
2.2 The Limit of a Function ((x² − 4)/(x − 2) → 4 at 2, (sin x)/x → 1 at 0 from a table, sin(1/x) has no limit at 0, one-sided limits of |x − 2|/(x − 2), infinite limits and vertical asymptotes, the formal definition appearing only in the late 19th century: .../pages/2-2-the-limit-of-a-function)
2.3 The Limit Laws (sum, difference, constant multiple, product, quotient, power and root laws; direct substitution; factoring and rationalizing 0/0 forms; squeeze theorem: .../pages/2-3-the-limit-laws)
2.4 Continuity (three conditions; removable, jump and infinite discontinuities; Intermediate Value Theorem: .../pages/2-4-continuity)
2.5 The Precise Definition of a Limit (.../pages/2-5-the-precise-definition-of-a-limit).

Consultato il: 2026-10-17