El límite de una función

La función (x² − 4)/(x − 2) no tiene valor en x = 2, pero en x = 1.999 da 3.999 y en 2.001 da 4.001.

Qué ocurre cerca de un punto

Toma f(x) = (x² − 4)/(x − 2). Al sustituir x = 2 obtienes 0/0, que no es un número, así que f(2) no está definida. Pero eso cuenta poco. Prueba valores cercanos a 2: f(1.9) = 3.9, f(1.99) = 3.99, f(2.01) = 4.01, f(2.1) = 4.1. Por ambos lados, los resultados se acercan a 4. Escribimos lim_x→2 f(x) = 4, que se lee: el límite de f(x) cuando x tiende a 2 es 4. La razón se ve al factorizar: x² − 4 = (x − 2)(x + 2), así que para todo x salvo 2, f(x) = x + 2. La gráfica es la recta y = x + 2 con un punto que falta.

OpenStax presenta así la definición intuitiva. Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene a a, salvo quizá en el propio a. Si todos los valores de f(x) se acercan al número real L cuando x (distinto de a) se acerca a a, entonces el límite de f(x) cuando x tiende a a es L. Lo importante es «salvo quizá en el propio a». El límite describe los valores cerca de a, nunca el valor en a. Una función puede no estar definida en a, tener allí un valor distinto o el mismo valor, y el límite puede ser idéntico en los tres casos.

x	f(x)	x	f(x)
1.9	3.9	2.1	4.1
1.99	3.99	2.01	4.01
1.999	3.999	2.001	4.001

Estimar con una tabla

La estrategia de OpenStax consiste en crear dos columnas de valores de x, una que se acerque a a por debajo y otra por encima, y observar hacia dónde van los resultados. Para lim_x→0 (sin x)/x, con x en radianes: sin(0.1)/0.1 ≈ 0.998334, sin(0.01)/0.01 ≈ 0.999983, y los valores para −0.1 y −0.01 son iguales porque la función es par. Se acercan a 1, así que el límite es 1. Aquí no hay un truco algebraico como factorizar; la tabla y la gráfica aportan la evidencia, y una sección posterior lo demuestra con el teorema del encaje.

Las tablas pueden engañar si confías en muy pocas filas. Una calculadora usa una cantidad limitada de cifras y, para x muy próximo a 2, puede redondear mal (x² − 4) y (x − 2). Usa varias filas, comprueba ambos lados y apoya la tabla con una gráfica o con álgebra cuando puedas. Una gráfica tiene la debilidad contraria: muestra bien la tendencia, pero no da un valor exacto. Juntas permiten una buena estimación; las leyes de los límites de la unidad 4 convierten muchas estimaciones en respuestas exactas.

La recta y = x + 2 con un hueco en (2, 4) y el valor f(2) = 1 situado aparte. El límite en 2 sigue siendo 4.

La figura anterior muestra la misma idea que la gráfica del ejemplo 2.6 de OpenStax, donde g(−1) = 4 pero los valores próximos a −1 se acercan a 3. Aquí la función vale x + 2 en todas partes salvo en 2, donde se ha definido f(2) = 1. Cerca de 2, los resultados siguen acercándose a 4, así que el límite es 4 aunque el valor sea 1. Un límite y un valor pueden diferir. Cuando coinciden, la función es continua en ese punto, el tema de la unidad 5.

ContextoLos procesos de paso al límite son antiguos. OpenStax señala que los primeros matemáticos los usaban para obtener aproximaciones cada vez mejores del área de un círculo. Arquímedes, por ejemplo, encerró un círculo entre dos polígonos regulares de 96 lados, uno interior y otro exterior. La definición formal de límite que usamos hoy no apareció hasta finales del siglo 19. El cálculo se usó intensamente durante casi dos siglos antes de poder precisar qué era un límite; una buena razón para empezar, como hicieron entonces, con tablas e imágenes.

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f(x) = (x² − 4)/(x − 2). Acerca x a 2 por cualquiera de los lados o pulsa Acercar. La tabla muestra desde f(2 ± 0.1) hasta f(2 ± 0.0001).

f(x) = (x² − 4)/(x − 2). ¿Cuánto vale f(2.01)?
lim_x→3 (x² − 9)/(x − 3) = ?
lim_x→1 (x² − 1)/(x − 1) = ?
Con una tabla, lim_x→2 (x³ − 8)/(x − 2) = ? (Prueba x = 1.999 y 2.001.)
¿sin(0.1)/0.1 con cuatro decimales (x en radianes)?
lim_x→0 (sin x)/x = ?
g(x) = x + 2 para x ≠ 2 y g(2) = 1. ¿Cuánto vale lim_x→2 g(x)?
- 4
- 1
- No existe
- 2
¿Depende lim_x→a f(x) del valor f(a)?
- No
- Sí
- Solo para polinomios
- Solo si f(a) = 0
lim_x→−1 (x² + 3x + 2)/(x + 1) = ?
¿Por qué comprobar valores de x a ambos lados de a?
- Los dos lados podrían acercarse a números distintos
- Duplica la precisión de la calculadora
- Solo cuenta el lado derecho
- La tabla necesita un número par de filas

Ideas clave

lim_x→a f(x) = L: cuando x se acerca a a (x ≠ a), f(x) se acerca a L.
El valor f(a) no afecta al límite.
Estima con una tabla por ambos lados y con una gráfica.
Obtener 0/0 en un punto exige seguir trabajando, a menudo factorizando.

Fuentes de este curso (5)

OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 2 Limits: 2.1 A Preview of Calculus (tangent problem and area problem; secant slopes through (1, 1) on f(x) = x² with (2, 4) giving 3 and (3/2, 9/4) giving 2.5; rock s(t) = −16t² + 64 with average velocities −15.84 and −16.16 near t = 0.5; three rectangles under x² + 1 on [0, 3] giving 8: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
2.2 The Limit of a Function ((x² − 4)/(x − 2) → 4 at 2, (sin x)/x → 1 at 0 from a table, sin(1/x) has no limit at 0, one-sided limits of |x − 2|/(x − 2), infinite limits and vertical asymptotes, the formal definition appearing only in the late 19th century: .../pages/2-2-the-limit-of-a-function)
2.3 The Limit Laws (sum, difference, constant multiple, product, quotient, power and root laws; direct substitution; factoring and rationalizing 0/0 forms; squeeze theorem: .../pages/2-3-the-limit-laws)
2.4 Continuity (three conditions; removable, jump and infinite discontinuities; Intermediate Value Theorem: .../pages/2-4-continuity)
2.5 The Precise Definition of a Limit (.../pages/2-5-the-precise-definition-of-a-limit).

Fecha de consulta: 2026-10-17