O limite de uma função
A função (x² − 4)/(x − 2) não tem valor em x = 2, mas em x = 1.999 resulta em 3.999 e em 2.001 resulta em 4.001.
O que acontece perto de um ponto
Considere f(x) = (x² − 4)/(x − 2). Substituindo x = 2, obtemos 0/0, que não é um número, então f(2) não está definido. Dizer apenas isso deixa a descrição incompleta. Experimente valores próximos de 2: f(1.9) = 3.9, f(1.99) = 3.99, f(2.01) = 4.01, f(2.1) = 4.1. Dos dois lados, os resultados se aproximam de 4. Escrevemos limx→2 f(x) = 4, que se lê: o limite de f(x) quando x tende a 2 é 4. A fatoração explica por quê: x² − 4 = (x − 2)(x + 2), então, para todo x diferente de 2, f(x) = x + 2. O gráfico é a reta y = x + 2 com um ponto ausente.
A OpenStax apresenta a definição intuitiva assim. Seja f definida em um intervalo aberto que contém a, exceto possivelmente no próprio a. Se todos os valores de f(x) se aproximam do número real L quando x (diferente de a) se aproxima de a, então o limite de f(x) quando x tende a a é L. A expressão exceto possivelmente no próprio a é importante. O limite descreve os valores perto de a, não o valor em a. A função pode não estar definida em a, ter ali um valor diferente ou ter o mesmo valor, e o limite pode ser o mesmo nos três casos.
| x | f(x) | x | f(x) |
|---|---|---|---|
| 1.9 | 3.9 | 2.1 | 4.1 |
| 1.99 | 3.99 | 2.01 | 4.01 |
| 1.999 | 3.999 | 2.001 | 4.001 |
Estimativa com uma tabela
A estratégia da OpenStax é montar duas colunas de valores de x, uma se aproximando de a por valores menores e outra por valores maiores, e observar para onde vão os resultados. Para limx→0 (sin x)/x, com x em radianos: sin(0.1)/0.1 ≈ 0.998334, sin(0.01)/0.01 ≈ 0.999983, e os valores para −0.1 e −0.01 são iguais porque a função é par. Os valores se aproximam de 1, portanto o limite é 1. Aqui não há um recurso algébrico simples, como a fatoração; a tabela e o gráfico fornecem a evidência, e uma seção posterior faz a demonstração pelo teorema do confronto.
Tabelas podem enganar se você confiar em poucas linhas. Uma calculadora trabalha com uma quantidade limitada de algarismos e, para x extremamente próximo de 2, pode arredondar mal (x² − 4) e (x − 2). Use várias linhas, examine os dois lados e, quando possível, complemente a tabela com um gráfico ou com álgebra. O gráfico tem a fraqueza oposta: mostra bem a tendência, mas não fornece um valor exato. Juntos, eles dão uma boa estimativa; as propriedades dos limites, na unidade 4, transformam muitas estimativas em respostas exatas.
A figura acima mostra a mesma ideia do gráfico no Exemplo 2.6 da OpenStax, em que g(−1) = 4, mas os valores perto de −1 se aproximam de 3. Aqui, a função é igual a x + 2 em todos os pontos, exceto em 2, onde alguém definiu f(2) = 1. Perto de 2, os resultados continuam se aproximando de 4, então o limite é 4, embora o valor seja 1. Um limite pode ser diferente do valor da função. Quando são iguais, dizemos que a função é contínua naquele ponto, assunto da unidade 5.
Arraste para girar. Use a rolagem ou afaste e aproxime dois dedos para ajustar o zoom.
- f(x) = (x² − 4)/(x − 2). Quanto vale f(2.01)?
- limx→3 (x² − 9)/(x − 3) = ?
- limx→1 (x² − 1)/(x − 1) = ?
- Usando uma tabela, limx→2 (x³ − 8)/(x − 2) = ? (Experimente x = 1.999 e 2.001.)
- Quanto vale sin(0.1)/0.1 com quatro casas decimais (x em radianos)?
- limx→0 (sin x)/x = ?
- g(x) = x + 2 para x ≠ 2 e g(2) = 1. Quanto vale limx→2 g(x)?
- 4
- 1
- Não existe
- 2
- limx→a f(x) depende do valor f(a)?
- Não
- Sim
- Só para polinômios
- Só se f(a) = 0
- limx→−1 (x² + 3x + 2)/(x + 1) = ?
- Por que examinar valores de x dos dois lados de a?
- Os dois lados podem se aproximar de números diferentes
- Isso duplica a precisão da calculadora
- Só o lado direito importa
- A tabela precisa ter um número par de linhas
- limx→a f(x) = L: quando x se aproxima de a (x ≠ a), f(x) se aproxima de L.
- O valor f(a) não afeta o limite.
- Estime com uma tabela pelos dois lados e com um gráfico.
- 0/0 em um ponto indica que ainda é preciso trabalhar, muitas vezes fatorando.
Fontes deste curso (5)
- OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 2 Limits: 2.1 A Preview of Calculus (tangent problem and area problem; secant slopes through (1, 1) on f(x) = x² with (2, 4) giving 3 and (3/2, 9/4) giving 2.5; rock s(t) = −16t² + 64 with average velocities −15.84 and −16.16 near t = 0.5; three rectangles under x² + 1 on [0, 3] giving 8: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
- 2.2 The Limit of a Function ((x² − 4)/(x − 2) → 4 at 2, (sin x)/x → 1 at 0 from a table, sin(1/x) has no limit at 0, one-sided limits of |x − 2|/(x − 2), infinite limits and vertical asymptotes, the formal definition appearing only in the late 19th century: .../pages/2-2-the-limit-of-a-function)
- 2.3 The Limit Laws (sum, difference, constant multiple, product, quotient, power and root laws; direct substitution; factoring and rationalizing 0/0 forms; squeeze theorem: .../pages/2-3-the-limit-laws)
- 2.4 Continuity (three conditions; removable, jump and infinite discontinuities; Intermediate Value Theorem: .../pages/2-4-continuity)
- 2.5 The Precise Definition of a Limit (.../pages/2-5-the-precise-definition-of-a-limit).
Data de verificação: 2026-10-17