Limites laterais e infinitos

Logo à esquerda de 2, |x − 2|/(x − 2) é sempre −1; logo à direita de 2, é sempre 1. Os dois lados nunca coincidem.

Limites à esquerda e à direita

Às vezes, os dois lados de um ponto se comportam de formas diferentes, e convém separá-los. O limite à esquerda, escrito lim_x→a⁻ f(x), usa apenas valores de x menores que a. O limite à direita, lim_x→a⁺ f(x), usa apenas valores de x maiores que a. Para g(x) = |x − 2|/(x − 2), qualquer x menor que 2 torna o numerador igual a −(x − 2), então g(x) = −1; qualquer x maior que 2 dá g(x) = 1. Portanto, o limite à esquerda é −1 e o limite à direita é 1.

A relação com o limite bilateral usual é simples e vale memorizar: lim_x→a f(x) = L exatamente quando os dois limites laterais existem e são iguais a L. Para g, os lados são diferentes, então lim_x→2 g(x) não existe, o que em inglês costuma ser abreviado como DNE. A OpenStax também usa um exemplo definido por partes: f(x) = x + 1 para x < 2 e f(x) = x² − 4 para x ≥ 2. Pela esquerda, os valores se aproximam de 2 + 1 = 3; pela direita, aproximam-se de 4 − 4 = 0. O gráfico tem um salto, e o limite bilateral não existe.

Quando não há um número

Um limite pode deixar de existir de outra forma. Observe sin(1/x) perto de 0. Conforme x diminui, 1/x cresce sem limite, e o seno de um número que cresce rapidamente continua oscilando entre −1 e 1. A OpenStax escolhe valores de x como 2/π, 2/(3π), 2/(5π) e assim por diante, nos quais a função alterna entre 1, −1, 1, −1 indefinidamente, aproximando-se cada vez mais de 0. Os valores não se estabilizam em um único número por nenhum dos lados, então nenhum dos limites laterais existe.

Limites infinitos e assíntotas verticais

O terceiro comportamento é o crescimento sem limite. Para h(x) = 1/(x − 2)², os resultados em x = 2.01 e 1.99 são ambos 10 000; em 2.001 e 1.999, são 1 000 000. Eles não se aproximam de um número: ultrapassam qualquer número escolhido. Escrevemos lim_x→2 1/(x − 2)² = +∞. Isso descreve como o limite deixa de existir; não significa que infinito seja um número. Para 1/x perto de 0, os dois lados vão em direções opostas: −∞ pela esquerda e +∞ pela direita.

Sempre que um limite lateral em a é +∞ ou −∞, a reta vertical x = a é uma assíntota vertical: o gráfico sobe ou desce ao lado dela, cada vez mais perto. Funções racionais costumam ter uma onde o denominador é zero e o numerador não é. O exemplo 1/(x + 3)⁴ da OpenStax tem uma assíntota vertical em x = −3. Cuidado com zero sobre zero: (x² − 4)/(x − 2) tem denominador zero em 2, mas ali há um furo, não uma assíntota, porque o fator que zera pode ser cancelado.