한쪽 극한과 무한 극한

2의 바로 왼쪽에서 |x − 2|/(x − 2)는 언제나 −1이고, 바로 오른쪽에서는 언제나 1입니다. 두 쪽이 끝내 만나지 않습니다.

왼쪽 극한과 오른쪽 극한

때로는 한 점의 왼쪽과 오른쪽이 서로 다른 이야기를 합니다. 그럴 때는 두 쪽을 따로 떼어 보는 것이 도움이 됩니다. 왼쪽 극한은 lim_x→a⁻ f(x)로 쓰며, a보다 작은 x값만 씁니다. 오른쪽 극한은 lim_x→a⁺ f(x)로 쓰며, a보다 큰 x값만 씁니다. 예를 들어 g(x) = |x − 2|/(x − 2)에서 x가 2보다 작으면 어떤 x이든 분자가 −(x − 2)가 되므로 g(x) = −1입니다. 반대로 x가 2보다 크면 언제나 g(x) = 1입니다. 그래서 2에서 왼쪽 극한은 −1이고, 오른쪽 극한은 1입니다.

한쪽 극한과 보통의 양쪽 극한 사이의 관계는 간단해서 외워 둘 만합니다. 두 한쪽 극한이 모두 존재하고 둘 다 L일 때, 그리고 그때만 lim_x→a f(x) = L입니다. 앞의 g는 두 쪽의 극한이 서로 다르므로 lim_x→2 g(x)는 존재하지 않습니다. 이것을 흔히 줄여서 DNE(does not exist)라고 적습니다. OpenStax 교재는 조각으로 정의된 예도 듭니다. x < 2에서 f(x) = x + 1, x ≥ 2에서 f(x) = x² − 4입니다. 왼쪽에서는 값이 2 + 1 = 3으로, 오른쪽에서는 4 − 4 = 0으로 다가갑니다. 그래프가 이 점에서 뚝 끊겨 뛰어오르므로 양쪽 극한은 존재하지 않습니다.

다가가는 수가 아예 없을 때

극한이 존재하지 않는 방식이 하나 더 있습니다. 이번에는 값이 흔들리는 경우입니다. 0 근처에서 sin(1/x)를 봅시다. x가 0 쪽으로 작아지면 1/x는 한없이 커집니다. 그리고 이렇게 빠르게 커지는 수의 사인값은 −1과 1 사이를 쉬지 않고 계속 오갑니다. OpenStax 교재는 2/π, 2/(3π), 2/(5π) 같은 x값을 고르는데, 0에 점점 가까워지는 이 점들에서 함수는 1, −1, 1, −1을 끝없이 되풀이합니다. 왼쪽에서도 오른쪽에서도 값이 어떤 한 수에 자리를 잡지 않으므로, 이 경우에는 한쪽 극한조차 존재하지 않습니다.

무한 극한과 수직 점근선

극한이 보이는 세 번째 모습은 값이 한없이 커지는 경우입니다. h(x) = 1/(x − 2)²는 x = 2.01과 1.99에서 둘 다 10,000이고, 2.001과 1.999에서는 1,000,000입니다. 이 값들은 어떤 수로 다가가는 것이 아니라, 누가 어떤 수를 대든 그 수보다 더 커져 버립니다. 이를 lim_x→2 1/(x − 2)² = +∞로 씁니다. 이 표기는 무한대가 하나의 수라는 뜻이 아닙니다. 극한이 어떤 식으로 존재하지 않는지를 나타내는 표기일 뿐입니다. 0 근처의 1/x는 두 쪽이 서로 반대 방향으로 갑니다. 왼쪽에서는 −∞, 오른쪽에서는 +∞입니다.

a에서 한쪽 극한이 +∞나 −∞이면 세로선 x = a를 수직 점근선이라고 합니다. 그래프는 그 세로선을 따라 점점 더 가까이 붙으면서 위나 아래로 뻗어 나갑니다. 유리함수에서는 분모가 0이 되고 분자는 0이 아닌 곳에 수직 점근선이 흔히 생깁니다. 예를 들어 OpenStax 교재에 나오는 1/(x + 3)⁴는 x = −3에 수직 점근선이 있습니다. 하지만 분모와 분자가 모두 0이 되는 0/0은 조심하세요. (x² − 4)/(x − 2)는 2에서 분모가 0이지만 0이 약분되므로 점근선이 아니라 구멍이 생깁니다.