미적분을 낳은 두 가지 물음

곡선 y = x²에서 (1, 1)과 (2, 4)를 지나는 직선의 기울기는 3입니다. 둘째 점을 (1.5, 2.25)로 옮기면 기울기가 2.5로 줄어듭니다.

직선의 기울기는 쉽습니다

직선은 어느 곳에서나 같은 빠르기로 변합니다. 예를 들어 f(x) = −2x − 3에서는 오른쪽으로 1만큼 갈 때마다 y가 2씩 내려갑니다. 그래서 모든 점에서 기울기가 −2입니다. g(x) = (1/2)x + 1에서는 오른쪽으로 한 칸 갈 때마다 y가 반 칸씩 오릅니다. 그리고 h(x) = 2에서는 y가 전혀 변하지 않으므로 기울기가 0입니다. OpenStax 교재는 극한 장에서 변화율을 다루는 절을 바로 이 세 직선으로 시작합니다. 답이 수 하나로 나올 때 변화율이 무엇을 뜻하는지를 이 직선들이 잘 보여 주기 때문입니다.

이번에는 곡선인 k(x) = x²를 봅시다. 왼쪽에서부터 따라오면 그래프가 가파르게 내려가다가 원점 근처에서 평평해지고, 그다음 오른쪽으로 갈수록 점점 더 빠르게 올라갑니다. 이 함수가 얼마나 빨리 변하는지는 수 하나로 나타낼 수 없습니다. 가파른 정도가 그래프 위 어디에 서 있느냐에 따라 다르기 때문입니다. 이것이 바로 접선 문제입니다. 곡선 위의 한 점에서 곡선의 기울기를 어떻게 구할 수 있을까요? 그 점에서 곡선에 살짝 닿기만 하는 직선을 접선이라고 하는데, 이 접선의 기울기가 우리가 원하는 값입니다. 그런데 접선이 지나는 점 가운데 우리가 아는 점은 하나뿐입니다. 기울기를 계산하려면 점이 두 개 있어야 합니다.

할선이 접선으로 다가갑니다

이 어려움을 벗어나는 방법은 역시 곡선 위에 있는 점을 하나 더 쓰는 것입니다. 곡선 위의 두 점을 지나는 직선을 할선이라고 부르고, 그 기울기는 m = (f(x) − f(a))/(x − a)입니다. 예를 들어 f(x) = x²에서 a = 1일 때, 점 (2, 4)를 지나는 할선의 기울기는 (4 − 1)/(2 − 1) = 3입니다. 점 (1.5, 2.25)를 지나는 할선은 기울기가 (2.25 − 1)/0.5 = 2.5이고, 점 (1.25, 1.5625)를 지나는 할선은 기울기가 2.25입니다. 둘째 점이 곡선을 따라 (1, 1) 쪽으로 미끄러져 갈수록 할선들은 어떤 한 직선 쪽으로 돌아가고, 할선의 기울기들은 한 수 2로 모여듭니다. 할선들이 다가가는 그 직선이 바로 접선이고, 2가 그 접선의 기울기입니다.

똑같은 방법으로 물리 문제에도 답할 수 있습니다. OpenStax 교재는 64피트 높이에서 돌을 떨어뜨리는 예를 들고, t초가 지난 뒤 돌의 높이를 s(t) = −16t² + 64로 둡니다. 어떤 시간 구간 동안의 평균 속도는 그 사이의 높이 변화를 시간 변화로 나눈 값입니다. 구간 [0.49, 0.5]에서는 평균 속도가 초속 −15.84피트이고, 구간 [0.5, 0.51]에서는 초속 −16.16피트입니다. t = 0.5인 순간의 속도는 이 두 값 사이에 있어야 합니다. 그리고 구간을 더 좁게 줄이면 값들이 −16을 가리킵니다. 결국 어떤 구간의 평균 속도는 할선의 기울기이고, 한순간의 속도는 접선의 기울기입니다.

넓이 문제

미적분의 둘째 물음은 넓이에 관한 것입니다. 함수 f(x) = x² + 1의 그래프와 x축 사이에서, x = 0부터 x = 3까지 놓인 부분의 넓이는 얼마일까요? 윗변이 곡선인 도형의 넓이를 구하는 공식은 기하학에 없습니다. 그래도 직사각형들을 써서 넓이를 어림할 수는 있습니다. 먼저 구간 [0, 3]을 폭이 1인 세 조각으로 나누고, 조각마다 왼쪽 끝에서의 곡선 높이를 직사각형의 높이로 씁니다. 그러면 높이가 1, 2, 5이므로 직사각형 넓이는 1, 2, 5이고 어림값은 8입니다. 직사각형을 더 가늘게 만들수록 곡선에 더 잘 들어맞고, 직사각형의 폭을 0 쪽으로 줄여 갈 때 그 합이 다가가는 값이 바로 정확한 넓이입니다.

두 문제는 결국 똑같은 방식으로 끝납니다. 먼저 우리가 계산할 수 있는 것(할선의 기울기, 직사각형 넓이의 합)을 계산합니다. 그런 다음 어떤 간격을 0 쪽으로 줄일 때 무슨 일이 생기는지 묻습니다. 이런 과정을 극한을 구한다고 합니다. 접선 문제는 자라서 미분학과 도함수가 되고, 넓이 문제는 자라서 적분학과 적분이 됩니다. 이 과정의 나머지 단원들은 극한 그 자체를 다룹니다. 그래야 뒤따르는 두 과정이 튼튼한 바탕 위에 설 수 있기 때문입니다.