Les deux questions à l'origine de l'analyse

Sur la courbe y = x², la droite passant par (1, 1) et (2, 4) a pour pente 3. Déplace le second point vers (1.5, 2.25) : la pente descend à 2.5.

La pente d'une droite est simple

Une droite varie au même rythme partout. Pour f(x) = −2x − 3, chaque pas de 1 vers la droite fait baisser y de 2 : la pente vaut donc −2 en tout point. Pour g(x) = (1/2)x + 1, y augmente d'une demi-unité par pas ; pour h(x) = 2, y ne change jamais et la pente vaut 0. OpenStax ouvre sa section sur les taux de variation, dans le chapitre sur les limites, avec ces trois droites. Elles montrent ce qu'est un taux de variation lorsque la réponse tient en un seul nombre.

Regarde maintenant k(x) = x². En venant de la gauche, la courbe descend fortement, s'aplatit près de l'origine, puis monte de plus en plus vite vers la droite. Aucun nombre unique ne décrit sa variation : sa pente dépend de l'endroit où l'on se place. C'est le problème de la tangente : comment trouver la pente d'une courbe en un point ? La tangente, droite qui touche la courbe à cet endroit, possède la pente cherchée. Mais on ne connaît qu'un seul de ses points, alors qu'il en faut deux pour calculer une pente.

Les sécantes se rapprochent de la tangente

La solution consiste à choisir un second point sur la courbe. Une droite passant par deux points d'une courbe est une sécante ; sa pente vaut m = (f(x) − f(a))/(x − a). Pour f(x) = x² en a = 1, la sécante passant par (2, 4) a pour pente (4 − 1)/(2 − 1) = 3. Celle passant par (1.5, 2.25) a pour pente (2.25 − 1)/0.5 = 2.5. Avec (1.25, 1.5625), la pente vaut 2.25. Quand le second point glisse vers (1, 1), les sécantes se rapprochent d'une même droite et leurs pentes d'un même nombre, 2. Cette droite est la tangente et sa pente vaut 2.

Le même raisonnement répond à une question de physique. OpenStax lâche une pierre d'une hauteur de 64 pieds ; après t secondes, sa hauteur est s(t) = −16t² + 64. La vitesse moyenne sur un intervalle de temps est la variation de hauteur divisée par la durée. Sur [0.49, 0.5], elle vaut −15.84 pieds par seconde ; sur [0.5, 0.51], elle vaut −16.16. La vitesse instantanée en t = 0.5 doit se situer entre les deux. En réduisant encore les intervalles, on se rapproche de −16. Une vitesse moyenne est la pente d'une sécante ; une vitesse instantanée, celle d'une tangente.

Le problème de l'aire

La seconde question porte sur une aire. Quelle aire se trouve entre la courbe de f(x) = x² + 1 et l'axe des abscisses, de x = 0 à x = 3 ? Aucune formule de géométrie ne donne directement l'aire de cette région au bord supérieur courbe. On peut néanmoins l'estimer avec des rectangles. Partage [0, 3] en trois intervalles de largeur 1 et prends la hauteur de la courbe à leur extrémité gauche : les hauteurs 1, 2 et 5 donnent des aires de 1, 2 et 5, soit une estimation de 8. Des rectangles plus fins épousent mieux la courbe. L'aire exacte est la valeur vers laquelle tendent les sommes quand les largeurs tendent vers zéro.

Les deux problèmes aboutissent à la même démarche : calculer une quantité accessible, pente d'une sécante ou somme d'aires de rectangles, puis regarder ce qui se passe quand un écart tend vers zéro. Cette démarche s'appelle un passage à la limite. Le problème de la tangente mène au calcul différentiel et à la dérivée ; celui de l'aire, au calcul intégral et à l'intégrale. La suite de ce cours étudie les limites elles-mêmes pour donner des bases solides aux deux cours suivants.