Continuité

f(x) = x³ − x − 1 vaut −1 en x = 1 et 5 en x = 2. Comme sa courbe n'a pas de coupure, elle doit passer par zéro entre les deux.

Trois conditions

Intuitivement, une fonction est continue si l'on peut tracer sa courbe sans lever le crayon. Cette image aide, mais l'analyse demande des conditions vérifiables. OpenStax en donne trois pour que f soit continue en a. Premièrement, f(a) est définie. Deuxièmement, lim_x→a f(x) existe. Troisièmement, les deux sont égales : lim_x→a f(x) = f(a). Si une condition manque, f est discontinue en a. Une fonction est continue sur un intervalle si elle l'est en chacun de ses points.

Vérifie les conditions dans l'ordre et arrête-toi à la première qui échoue. Pour (x² − 4)/(x − 2) en 2, la première échoue : f(2) n'est pas définie. Pour la fonction égale à x + 2 sauf f(2) = 1, les deux premières sont satisfaites (f(2) = 1, limite 4), mais pas la troisième. Pour x² en 1, les trois sont satisfaites : f(1) = 1, la limite vaut 1 et elles coïncident. Les polynômes sont continus partout ; les fonctions rationnelles sont continues là où leur dénominateur ne s'annule pas. Cela découle directement des opérations sur les limites.

Les types de discontinuité

On distingue trois types de discontinuité, liés aux comportements possibles d'une limite. Pour une discontinuité prolongeable, la limite existe, mais la fonction n'est pas définie au point considéré ou y prend une mauvaise valeur. Il suffit de redéfinir f(a) par la limite pour la rendre continue. Pour une discontinuité par saut, les limites à gauche et à droite existent mais diffèrent : la courbe monte ou descend d'un cran. Pour une discontinuité infinie, au moins une des limites unilatérales vaut ±∞, ce qui indique une asymptote verticale. Les fonctions rationnelles illustrent les premier et troisième types ; les fonctions par morceaux présentent souvent des sauts.

Un exercice classique sur les fonctions par morceaux consiste à choisir une constante pour raccorder les morceaux. Supposons f(x) = x + k pour x < 1 et f(x) = 2x² pour x ≥ 1. Le morceau de droite donne f(1) = 2 et une limite à droite égale à 2. La limite à gauche vaut 1 + k. Pour la continuité en 1, elles doivent coïncider : 1 + k = 2, donc k = 1. Toute autre valeur de k laisse un saut en x = 1.

Le théorème des valeurs intermédiaires

La continuité a une conséquence puissante. Le théorème des valeurs intermédiaires affirme que, si f est continue sur un intervalle fermé [a, b] et si z est un nombre entre f(a) et f(b), il existe au moins un c dans [a, b] tel que f(c) = z. Une fonction continue ne peut sauter aucune valeur. Prends f(x) = x³ − x − 1 : f(1) = −1 et f(2) = 5, donc f prend la valeur 0 quelque part entre 1 et 2. Le théorème garantit l'existence d'une racine sans donner sa position. Des divisions successives de l'intervalle en deux permettent de la trouver : f(1.5) = 0.875 > 0, donc elle est dans [1, 1.5] ; f(1.25) ≈ −0.297 < 0, donc elle est dans [1.25, 1.5], et ainsi de suite. La racine vaut environ 1.3247.