連続性

f(x) = x³ − x − 1はx = 1で−1、x = 2で5です。途中で途切れないため、その間のどこかで必ずゼロになります。

三つの条件

直感的には、鉛筆を離さずにグラフが描ける関数は連続です。ただし微積分には、確認できる条件が必要です。OpenStaxは点aでの連続性に三条件を挙げます。まずf(a)が定義されていること、次にlim_x→a f(x)が存在すること、最後に両者が等しくlim_x→a f(x) = f(a)となることです。一つでも満たさなければaで不連続です。区間のすべての点で連続なら、その区間で連続といいます。

順番に確認し、満たさない条件が見つかったら止めます。(x² − 4)/(x − 2)の2ではf(2)が未定義なので最初の条件を満たしません。f(2) = 1以外ではx + 2と等しい関数は、f(2) = 1で極限が4なので、最初の二条件だけを満たします。x²の1ではf(1) = 1、極限も1で、三条件をすべて満たします。極限の法則より、多項式はどこでも、有理関数は分母がゼロでないところで連続です。

不連続の種類

不連続には、極限の振る舞いに対応した三種類があります。除去可能な不連続では極限は存在しますが、関数が未定義か、極限と違う値になっています。f(a)を極限と同じ値に定義し直せば、一点の変更で直せます。跳びの不連続では両方の片側極限は存在しますが値が違い、グラフが段差になります。無限大に発散する不連続では、少なくとも片方の極限が±∞となり、垂直漸近線ができます。有理関数には最初と三つ目、場合分けした関数には跳びがよく現れます。

場合分けした関数では、二つの式がつながるよう定数を選ぶ問題がよく出ます。x < 1でf(x) = x + k、x ≥ 1でf(x) = 2x²とします。右の式からf(1) = 2で、右側極限も2です。左側極限は1 + kです。1で連続になるには一致が必要なので、1 + k = 2よりk = 1です。それ以外のkではx = 1に跳びが残ります。

中間値の定理

連続性から重要な結果が得られます。中間値の定理によると、閉区間[a, b]でfが連続で、zがf(a)とf(b)の間の数なら、f(c) = zとなるcが[a, b]に少なくとも一つあります。連続関数は途中の値を飛び越せません。f(x) = x³ − x − 1ではf(1) = −1、f(2) = 5なので、1と2の間で必ず0になります。定理は解の存在を保証しますが場所までは教えません。区間を繰り返し半分にすると、f(1.5) = 0.875 > 0より解は[1, 1.5]、f(1.25) ≈ −0.297 < 0より[1.25, 1.5]へと絞れます。解は約1.3247です。