Kekontinuan
f(x) = x³ − x − 1 bernilai −1 pada x = 1 dan 5 pada x = 2. Karena grafiknya tidak terputus, pasti melewati nol di antaranya.
Tiga syarat
Secara informal, fungsi kontinu jika grafiknya dapat digambar tanpa mengangkat pensil. Gambaran ini berguna, tetapi kalkulus memerlukan syarat yang bisa diperiksa. OpenStax memberikan tiga syarat agar f kontinu di a. Pertama, f(a) terdefinisi. Kedua, limx→a f(x) ada. Ketiga, keduanya sama: limx→a f(x) = f(a). Jika salah satu gagal, f tidak kontinu di a. Fungsi kontinu pada suatu selang jika kontinu di setiap titik selang itu.
Periksa secara berurutan dan berhenti ketika satu syarat gagal. Untuk (x² − 4)/(x − 2) di 2, syarat pertama gagal karena f(2) tidak terdefinisi. Untuk fungsi yang sama dengan x + 2 kecuali f(2) = 1, dua syarat pertama terpenuhi (f(2) = 1, limit 4), tetapi syarat ketiga gagal. Untuk x² di 1, ketiganya terpenuhi: f(1) = 1, limitnya 1, dan keduanya sama. Polinom kontinu di mana-mana, sedangkan fungsi rasional kontinu di semua titik dengan penyebut tidak nol; hal ini langsung mengikuti aturan limit.
Jenis diskontinuitas
Diskontinuitas memiliki tiga jenis, sesuai tiga perilaku limit. Diskontinuitas yang dapat dihilangkan memiliki limit, tetapi fungsi tidak terdefinisi di sana atau nilainya tidak sesuai. Satu titik dapat memperbaikinya: definisikan ulang f(a) sebagai limitnya. Diskontinuitas lompatan memiliki kedua limit satu sisi, tetapi nilainya berbeda, sehingga grafik meloncat naik atau turun. Diskontinuitas tak hingga memiliki setidaknya satu limit satu sisi bernilai ±∞, yang berarti ada asimtot tegak. Fungsi rasional menunjukkan jenis pertama dan ketiga; fungsi bercabang sering menunjukkan lompatan.
Soal umum fungsi bercabang adalah memilih konstanta agar kedua bagian bertemu. Misalkan f(x) = x + k untuk x < 1 dan f(x) = 2x² untuk x ≥ 1. Bagian kanan memberikan f(1) = 2 dan limit kanan 2. Limit kiri adalah 1 + k. Agar kontinu di 1, keduanya harus sama, sehingga 1 + k = 2 dan k = 1. Nilai k lain meninggalkan lompatan pada x = 1.
Teorema Nilai Antara
Kekontinuan memiliki akibat penting. Teorema Nilai Antara menyatakan: jika f kontinu pada selang tertutup [a, b] dan z adalah bilangan antara f(a) dan f(b), ada setidaknya satu c dalam [a, b] dengan f(c) = z. Fungsi kontinu tidak dapat melewati suatu nilai tanpa mencapainya. Ambil f(x) = x³ − x − 1: f(1) = −1 dan f(2) = 5, sehingga f bernilai 0 di suatu tempat antara 1 dan 2. Teorema menjamin adanya akar tanpa menunjukkan letaknya. Membagi selang menjadi dua berulang kali akan menemukannya: f(1.5) = 0.875 > 0, jadi akar ada dalam [1, 1.5]; f(1.25) ≈ −0.297 < 0, jadi ada dalam [1.25, 1.5], dan seterusnya. Akarnya sekitar 1.3247.
Seret untuk memutar. Gulir atau rapatkan dan renggangkan dua jari untuk mengatur zoom.
- Syarat mana yang gagal untuk (x² − 4)/(x − 2) pada x = 2?
- f(2) tidak terdefinisi
- Limitnya tidak ada
- Limitnya bukan 4
- Tidak ada; fungsi kontinu
- Apa jenis diskontinuitas (x² − 4)/(x − 2) di 2?
- Dapat dihilangkan
- Lompatan
- Tak hingga
- Tidak ada
- Apa jenis diskontinuitas |x − 2|/(x − 2) di 2?
- Lompatan
- Dapat dihilangkan
- Tak hingga
- Tidak ada
- Apa jenis diskontinuitas 1/(x − 2)² di 2?
- Tak hingga
- Lompatan
- Dapat dihilangkan
- Tidak ada
- f(x) = x + k untuk x < 1 dan 2x² untuk x ≥ 1. Nilai k mana yang membuat f kontinu di 1?
- f(x) = x³ − x − 1. Berapa f(1.5)?
- f(1) = −1 dan f(1.5) = 0.875. Di mana Teorema Nilai Antara menjamin adanya akar?
- Antara 1 dan 1.5
- Antara 1.5 dan 2
- Tepat pada 1.25
- Tidak di mana pun
- f(x) = x² − 2 memiliki akar antara 1 dan 2. Bagi dua kali: f(1.5) = 0.25 > 0, f(1.25) < 0. Berapa titik tengah selang yang tersisa setelah kedua langkah ini?
- Mengapa 1/x tidak bertentangan dengan Teorema Nilai Antara pada [−1, 1]?
- Fungsi tidak kontinu pada [−1, 1]
- Fungsi memang mencapai nilai 0
- Teorema Nilai Antara hanya berlaku untuk polinom
- f(−1) dan f(1) sama
- Di mana fungsi rasional kontinu?
- Di semua titik dengan penyebut tidak nol
- Di mana-mana
- Hanya pada bilangan bulat
- Hanya saat nilainya positif
- Kontinu di a: f(a) terdefinisi, limit ada, dan keduanya sama.
- Dapat dihilangkan (lubang atau titik salah tempat), lompatan (limit satu sisi berbeda), tak hingga (asimtot).
- Polinom kontinu di mana-mana; fungsi rasional kontinu di semua titik dengan penyebut bukan 0.
- Teorema Nilai Antara: pada [a, b], fungsi kontinu f mencapai setiap nilai antara f(a) dan f(b).
Sumber kursus ini (5)
- OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 2 Limits: 2.1 A Preview of Calculus (tangent problem and area problem; secant slopes through (1, 1) on f(x) = x² with (2, 4) giving 3 and (3/2, 9/4) giving 2.5; rock s(t) = −16t² + 64 with average velocities −15.84 and −16.16 near t = 0.5; three rectangles under x² + 1 on [0, 3] giving 8: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
- 2.2 The Limit of a Function ((x² − 4)/(x − 2) → 4 at 2, (sin x)/x → 1 at 0 from a table, sin(1/x) has no limit at 0, one-sided limits of |x − 2|/(x − 2), infinite limits and vertical asymptotes, the formal definition appearing only in the late 19th century: .../pages/2-2-the-limit-of-a-function)
- 2.3 The Limit Laws (sum, difference, constant multiple, product, quotient, power and root laws; direct substitution; factoring and rationalizing 0/0 forms; squeeze theorem: .../pages/2-3-the-limit-laws)
- 2.4 Continuity (three conditions; removable, jump and infinite discontinuities; Intermediate Value Theorem: .../pages/2-4-continuity)
- 2.5 The Precise Definition of a Limit (.../pages/2-5-the-precise-definition-of-a-limit).
Diperiksa: 2026-10-17