Kalkulus
Limit, turunan, dan integral menghubungkan nilai yang berdekatan, kemiringan yang berubah, dan akumulasi luas melalui grafik yang bisa kamu atur sendiri.
Tiga cara bertanya tentang kurva
Sebuah grafik bisa menjawab berbagai pertanyaan. Nilai apa yang didekatinya di sekitar titik yang hilang? Seberapa curam grafik pada satu saat? Berapa luas di bawahnya? Kursus-kursus ini memisahkan pertanyaan tersebut sebelum menunjukkan hubungannya. Notasi itu penting, tetapi menjelaskan apa yang diukur sebuah perhitungan juga penting. Kemiringan bukanlah luas, dan nilai fungsi pada suatu titik belum tentu sama dengan limitnya di sana. Tabel, rumus, dan grafik yang bisa digerakkan memberi bukti yang berbeda untuk mendukung jawaban.
Nilai berdekatan sebelum laju sesaat
Mulai dengan Limit. Unit-unitnya mengenalkan dua pertanyaan dasar kalkulus, limit fungsi, limit satu sisi dan limit tak hingga, aturan limit, serta kekontinuan. Fungsi dengan lubang memperlihatkan perbedaan antara mendekati suatu titik dan mencapai nilainya. Periksa nilai dari kedua sisi, bukan hanya mengandalkan satu baris tabel.
Lanjutkan dengan Turunan. Hasil bagi selisih menjadi kemiringan garis singgung saat jarak antartitik mendekati nol. Kursus ini lalu membahas turunan sebagai fungsi, mengembangkan aturan pangkat, perkalian, pembagian, dan rantai, serta memakai turunan untuk laju perubahan, maksimum, dan minimum. Baca tanda turunan sambil melihat kurva asal, bukan sekadar menyalin aturan diferensiasi.
Akhiri dengan Integral. Mula-mula persegi panjang memperkirakan luas; jumlah Riemann dan aturan titik tengah membuat perkiraan itu sistematis. Integral tentu dan Teorema Dasar Kalkulus menghubungkan akumulasi dengan diferensiasi. Unit terakhir membahas perubahan bersih dan nilai rata-rata, sehingga integral bermakna lebih dari sekadar luas di bawah gambar.
Geser titik, lalu jelaskan angkanya
Di laboratorium garis sekan untuk x² pada a = 1, geser titik kedua dan bandingkan kemiringan 2 + h dengan limit kemiringan 2. Di laboratorium turunan, geser sepanjang x³ − 3x dan amati bagaimana titik pada kurva turunan mengikuti kemiringan saat itu. Di laboratorium integral, ubah jumlah persegi panjang dan periksa perubahan perkiraan luas. Coba tebak hasilnya sebelum menyentuh kontrol, lalu gunakan besaran yang ditampilkan untuk menjelaskan perbedaan yang muncul.
Syarat yang tersembunyi di balik cara singkat
Limit bisa ada meskipun nilai fungsinya tidak ada atau berbeda. Kekontinuan tidak menjamin fungsi dapat diturunkan: sudut tajam dan garis singgung vertikal perlu diperhatikan. Turunan nol tidak otomatis berarti maksimum atau minimum, seperti terlihat pada kurva kubik yang mendatar. Turunan perkalian bukanlah perkalian turunan, dan perhitungan aturan rantai memerlukan turunan fungsi dalam. Ingat perbedaan ini saat mempelajari contoh soal. Perbedaan itulah yang menjelaskan mengapa rumus yang tampak akrab bisa memberi jawaban salah jika syaratnya diabaikan.