미적분

곡선에 던지는 서로 다른 질문

한 그래프에서도 묻는 내용은 달라집니다. 구멍 가까이에서 함수값은 어디로 가는지, 특정 순간의 기울기는 얼마인지, 구간에 걸쳐 넓이가 얼마나 쌓이는지를 구별합니다. 계산식을 외우기 전에 지금 구하는 값의 뜻을 설명하는 연습을 합니다. 표는 가까운 값의 변화를 보여 주고 그래프는 전체 모양을 보여 주지만, 정확한 값을 결정할 때에는 식의 조건도 살펴야 합니다.

극한을 확인한 뒤 미분과 적분으로

극한에서는 미적분의 두 질문으로 시작해 함수의 극한, 한쪽 극한과 무한 극한, 극한 법칙, 연속을 공부합니다. 점의 함수값과 그 점에 가까워질 때의 값을 따로 읽습니다. 한쪽에서만 수를 대입해 보고 결론을 내리지 않도록 양쪽의 변화를 비교합니다.

미분은 차분몫에서 출발합니다. 두 점의 간격을 줄여 할선이 접선으로 가까워지는 모습을 본 뒤 도함수 자체를 함수로 읽습니다. 거듭제곱, 곱, 몫, 합성함수의 미분 규칙을 익히고 변화율과 최댓값, 최솟값에 적용합니다. 원래 함수의 높이와 도함수의 높이는 서로 다른 정보를 나타낸다는 점을 계속 확인합니다.

적분에서는 직사각형으로 넓이를 어림합니다. 리만 합과 중점 합, 정적분을 거쳐 미적분의 기본 정리로 미분과의 관계를 살펴봅니다. 마지막에는 순변화량과 평균값을 다루므로 넓이 계산이 어떤 양의 누적을 뜻하는지도 설명할 수 있어야 합니다.

조작한 결과를 말로 설명합니다

x²의 a = 1인 지점에서 두 번째 점을 움직이면 할선 기울기 2 + h가 2에 가까워지는 것을 비교합니다. x³ − 3x 위의 점을 옮기는 실험에서는 현재 접선 기울기가 도함수 그래프의 높이로 나타납니다. 적분 실험에서는 직사각형 개수를 바꾸며 근삿값을 비교합니다. 먼저 예상값과 이유를 적고, 조작 뒤 표시된 수와 대조하면 그림을 보기만 할 때 놓치는 차이를 찾을 수 있습니다.

공식보다 먼저 확인할 조건

함수값이 없거나 다른 값으로 정해져 있어도 극한은 존재할 수 있습니다. 연속이라고 언제나 미분 가능한 것은 아니며 꺾인 점과 수직 접선을 구별해야 합니다. 도함수가 0이라고 무조건 극값인 것도 아닙니다. 곱의 미분을 두 도함수의 곱으로 처리하거나 합성함수에서 안쪽 미분을 빼먹는 실수도 확인합니다. 답을 맞혔는지에 그치지 않고 어떤 조건 때문에 그 규칙을 쓸 수 있는지 함께 설명합니다.