확률·통계

대푯값, 그래프, 확률을 다루는 네 과정

학교 수학과 뉴스에서 만나는 통계를 네 과정으로 나눴습니다. 시험 점수의 평균, 출생아 수 그래프, 주사위 두 개의 확률, 종 모양으로 쌓이는 측정값이 차례로 나옵니다. 자료는 가능한 한 실제 값을 씁니다. 연봉과 집값, 반별 시험 점수는 OpenStax 통계 교과서에서, 출생아 수와 합계출산율은 국가데이터처 출생 통계에서, 지역별 인구는 2020년 미국 인구조사에서 가져왔습니다. 평균과 확률 과정은 단원마다 선생님 메모가 있고, 그 내용이 2022 개정 교육과정의 어느 학년군 성취기준에 해당하는지 함께 적어 두었습니다. 다섯 번째 과정인 표본과 조사는 지금 쓰고 있습니다.

평균으로 시작해 확률로 마칩니다

먼저 평균을 공부합니다. 균형점으로 보는 평균에서 시작해 중앙값과 최빈값, 대푯값 고르기, 산포도를 거쳐 1.5 × IQR 이상값 규칙까지 다섯 단원입니다. 여기서 배우는 사분위수와 표준편차는 뒤 과정에서 다시 씁니다.

다음은 그래프 읽기입니다. 한국의 출생아 수와 합계출산율, 미국 인구조사 자료로 막대그래프, 원그래프, 꺾은선그래프를 그리고, 축을 잘라 그림이 얼마나 달라지는지, 히스토그램의 계급 폭을 바꾸면 모양이 어떻게 바뀌는지 여섯 단원에 걸쳐 봅니다.

분포에서는 도수분포표와 히스토그램을 만든 뒤, 케틀레가 정리한 스코틀랜드 군인 5,738명의 가슴둘레에 정규분포 곡선을 맞춰 봅니다. z점수와 68-95-99.7 규칙도 여기서 다룹니다. 이상값 울타리는 평균 과정에서 배운 것을 그대로 가져옵니다.

마지막으로 확률을 봅니다. 동전 한 번 던지기에서 시작해 주사위 두 개, 조건부확률, 갈톤 보드를 지나 중심극한정리까지 일곱 단원입니다. 분포 과정에서 잠깐 나온 표본 크기의 제곱근 법칙을 여기서 자세히 다룹니다.

과정을 마치고 나면 답할 수 있는 질문

연봉 11개 가운데 12만 달러짜리 하나 때문에 평균이 중앙값 54,000달러보다 훨씬 높아지는 이유를 말할 수 있습니다. 평균 70점인 20명 반과 평균 80점인 30명 반을 합치면 75점이 아니라 76점이라는 것도 계산으로 보입니다. 축이 22만 명에서 시작하는 막대그래프가 10.6% 늘어난 출생아 수를 3.43배 높은 막대로 그린다는 것을 알아챌 수 있습니다. 2012년 SAT 언어 점수 325점을 z = −1.5로 바꿀 수 있고, 주사위 두 개의 합 가운데 7이 가장 자주 나오는 까닭을 36가지 경우 중 6가지라는 것으로 설명할 수 있습니다. 공정한 동전을 10번 던져 앞면이 정확히 5번 나올 확률이 252/1024, 약 0.246밖에 안 된다는 것도 확인합니다.

점 그래프, 주사위, 갈톤 보드

단원마다 읽을거리 옆에 실험실이 있습니다. 평균 과정에서는 자료가 수직선 위의 점으로 놓여 있어서, 12만 달러 연봉을 좌우로 끌면 평균은 따라 움직이고 중앙값은 54에 그대로 있습니다. 산포도와 이상값 울타리를 켜면 상자, 표준편차 띠, 빨간 울타리가 점을 옮길 때마다 함께 바뀝니다. 그래프 실험실에서는 막대를 눌러 값을 읽고, 축이 시작하는 값을 밀어 바꾸고, 히스토그램의 계급 폭과 시작점을 바꿔 봅니다. 확률 과정에서는 동전을 10,000번 던지고, 주사위를 네 개까지 굴리고, 갈톤 보드에 공 1,000개를 떨어뜨리고, 표본 크기를 바꾸면서 결과를 정확한 확률과 나란히 봅니다. 용어는 플래시카드로 외우고, 단원 끝 문제에는 모두 해설이 붙어 있습니다.

평균과 확률을 잘못 읽는 경우

계산 실수보다 숫자의 뜻을 잘못 읽는 경우가 더 많습니다. 인원이 다른 두 반의 평균을 그냥 더해 2로 나누는 것, 자료를 크기순으로 정렬하지 않고 가운데 값을 중앙값이라고 하는 것이 대표적입니다. 범위가 같으니 두 자료의 흩어진 정도도 같다고 보거나, 이상값 울타리를 사분위수가 아니라 중앙값에서 재는 실수도 나옵니다. 확률에서는 뒷면이 일곱 번 연속 나왔으니 이번엔 앞면 차례라고 믿는 것, 주사위 두 개의 합 11가지가 모두 같은 확률이라고 보는 것이 흔합니다. 두 주사위 중 적어도 하나가 6일 확률을 1/6 + 1/6로 계산하면 (6, 6)을 두 번 세게 됩니다. P(운동화 | 축구부)와 P(축구부 | 운동화)를 바꿔 읽는 실수도 있습니다. 이런 오답은 단원마다 「자주 하는 실수」에 왜 틀렸는지 보여 주는 계산과 함께 정리해 두었습니다.