Вероятность и статистика

Средние, диаграммы и случайность

Четыре курса посвящены статистике, которая встречается в школе и новостях, в основном на реальных данных. Зарплаты, цены на жильё и оценки взяты из учебника статистики OpenStax, число рождений и коэффициент рождаемости из национального статистического ведомства Кореи, население регионов из переписи США 2020 года. В каждом уроке курсов «Средние» и «Вероятность» есть короткая заметка для учителя о типичных затруднениях учеников. Пятый курс, о выборках и опросах, ещё готовится.

Сначала средние, затем случайность

Начни с курса Средние. Его пять уроков ведут от среднего как точки равновесия к правилу 1.5 × IQR для выявления выбросов.

Затем переходи к курсу Чтение диаграмм. Шесть уроков используют данные о рождениях в Корее, её суммарном коэффициенте рождаемости и переписи США для изучения столбчатых и круговых диаграмм, линейных графиков, вводящих в заблуждение осей и гистограмм, форма которых меняется с шириной интервала.

Курс Распределения учит строить таблицы частот и гистограммы, затем подбирать нормальную кривую к измерениям обхвата груди 5 738 шотландских солдат, собранным Кетле, и разбирать z-оценки и правило 68-95-99.7.

Заверши курсом Вероятность. Семь уроков ведут от одного броска монеты к центральной предельной теореме через два кубика, условную вероятность и доску Гальтона.

Вопросы, на которые ты сможешь ответить

Объясни, почему одна зарплата в 120 000 $ поднимает среднее 11 зарплат намного выше их медианы в 54 000 $. Объедини класс из 20 учеников со средним баллом 70 и класс из 30 со средним 80: получится 76, а не 75. Найди диаграмму, где ось начинается с 220 тысяч и рост числа рождений на 10.6% изображён столбцом в 3.43 раза выше. Объясни, почему 7 является самой частой суммой двух кубиков: её дают 6 из 36 исходов. И выясни, почему за 10 бросков честной монеты ровно 5 орлов выпадает с вероятностью 252/1024, примерно 0.246.

Точки, кубики и доска Гальтона

В большинстве уроков рядом с текстом есть лаборатория. В курсе «Средние» данные показаны точками на прямой. Передвинь зарплату в 120 000 $: среднее сместится вслед за ней, а медиана останется равной 54. Включи границы выбросов, и красные линии будут двигаться при каждом перемещении. В лаборатории диаграмм можно нажать на столбец, чтобы узнать его значение, сдвинуть начало оси, изменить ширину интервалов гистограммы и их начальную точку. В курсе «Вероятность» можно бросить монету 10 000 раз, бросить до четырёх кубиков, пропустить 1 000 шариков через доску Гальтона и изменить объём выборки. Каждый результат сопоставляется с точной вероятностью. Урок завершается тестом с объяснением каждого ответа.

Ошибки в понимании среднего и вероятности

Большинство ошибок связано со смыслом чисел: усреднить средние двух классов, будто в них поровну учеников; взять середину списка, не отсортировав его; рассчитать границы выбросов по медиане вместо квартилей; решить, что после семи решек пора выпасть орлу; считать 11 сумм двух кубиков равновероятными; сложить 1/6 + 1/6 для выпадения хотя бы одной шестёрки на двух кубиках, дважды учтя две шестёрки. Каждая ошибка разобрана в отдельном блоке соответствующего урока с расчётом, который показывает, где нарушается рассуждение.