적분
미적분의 둘째 큰 생각인 곡선 아래 넓이를, 가는 직사각형으로 쌓아 다섯 단원에 걸쳐 배웁니다. 시그마 기호로 직사각형 넓이를 더하고, 왼쪽·오른쪽·중점 합을 비교하고, 그 극한으로 정적분을 정의하고, 적분과 미분을 잇는 미적분의 기본 정리를 만나고, 그것을 순변화량과 평균값에 씁니다. 미적분 실험실은 직사각형을 64개까지 그리고, 합마다 정확한 값을 나란히 보여 줍니다.
이 과정에 대하여
미적분의 두 번째 큰 생각은 가는 직사각형으로 쌓아 올린 곡선 아래의 넓이입니다. 과정은 [0, 2]에서 y = x²과 왼쪽 직사각형 네 개로 시작합니다. 여기서 x²은 증가하므로 왼쪽 직사각형은 곡선 아래에 있고 오른쪽 직사각형은 곡선 위로 튀어나옵니다. 그래서 L₄는 모자라고 R₄는 넘치며, 실제 넓이는 1.75와 3.75 사이입니다. 실험실에서 n을 몇 번 두 배로 늘리면 두 합이 8/3 ≈ 2.667로 다가가는 것을 볼 수 있습니다.
다섯 단원은 직사각형으로 넓이 어림하기, 리만 합과 중점 규칙, 정적분, 미적분의 기본 정리, 순변화량과 평균값입니다. 긴 합은 시그마 기호로 간단히 씁니다. 중점 단원은 n을 두 배로 할 때마다 끝점 오차는 대략 절반이 되고 중점 오차는 약 4분의 1로 줄어드는 것을 보여 줍니다. 0.042, 0.010, 0.0026, 0.00065입니다. 정적분은 이런 합의 극한이며 부호를 가진 순넓이를 잽니다. [0, 3]에서 4 − x²은 축 위의 16/3에서 아래의 7/3을 빼 3입니다. 기본 정리는 따로 보이던 기울기와 넓이가 서로 역과정임을 이어 줍니다. y = sin x의 한 마루는 0에서 π까지 넓이가 정확히 2이고, 중점 직사각형 8개로는 약 2.013이 나옵니다.
마지막 단원은 정리를 순변화량으로 읽습니다. 가상의 수레 v(t) = t² − 4t + 3을 [0, 4]에서 보면 넓이 4/3인 조각 세 개로 변위는 4/3이고 이동 거리는 4입니다. 떨어뜨린 돌은 v(t) = −32t이므로 t = 0에서 2까지의 변위는 변화율을 적분해 구합니다. 부정적분은 미분해서 확인하라고도 알려 줍니다. (2/3)x^(3/2)을 미분하면 √x가 됩니다.
시작하기 전에
정적분은 합의 극한이고, 미적분의 기본 정리가 이를 역도함수와 이어 주므로 극한과 미분을 먼저 들으세요. 시그마 기호는 첫 단원에서 설명합니다. 실습 도구가 직사각형을 64개까지 더해 각 합 옆에 정확한 값을 보여 줍니다.
마치고 나면
왼쪽, 오른쪽, 중점 직사각형으로 x² 아래 넓이를 어림해 1.75와 3.75 사이에 8/3이 있음을 보고, 합을 시그마 기호로 쓰며, x축 아래 넓이를 음수로 다룰 수 있습니다. x³/3 같은 역도함수로 정적분을 계산하고, 수레가 달린 거리 4미터와 변위 4/3미터를 구별할 수 있습니다.
- 1직사각형으로 넓이 어림하기0부터 2까지 y = x² 아래에 직사각형 네 개를 놓으면 왼쪽 끝을 쓸 때 1.75, 오른쪽 끝을 쓸 때 3.75입니다. 실제 넓이 8/3은 그 사이에 있습니다.
- 2리만 합과 중점 합직사각형 네 개만으로도 [0, 2]에서 x²의 중점 합은 2.625로, 정확한 값 8/3과 0.042밖에 차이가 나지 않습니다.
- 3정적분0부터 3까지 4 − x²의 정적분은 3입니다. 축 위의 16/3에서 축 아래로 내려간 7/3을 뺀 값입니다.
- 4미적분의 기본 정리0부터 2까지 x² 아래에 중점 직사각형 32개를 써도 0.0007만큼 어긋납니다. 역도함수 x³/3은 뺄셈 한 번 8/3 − 0으로 정확한 8/3을 줍니다.
- 5순변화량과 평균값속도가 t² − 4t + 3인 수레는 4초 동안 모두 4미터를 움직이지만, 끝나고 보면 출발점에서 4/3미터밖에 떨어져 있지 않습니다.
이 과정의 출처 (6)
- OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 5 Integration: 5.1 Approximating Areas (Archimedes and the method of exhaustion; sigma notation with Σ 3^i for i = 1 to 5 = 363; left and right endpoint approximations L4 = 1.75 and R4 = 3.75 for x² on [0, 2], L6 = 3.4375 and R6 = 5.6875 for x²/2 on [0, 3]; (x − 1)³ + 4 on [0, 2] approaching 8; Riemann sums named for the 19th-century mathematician Bernhard Riemann; upper and lower sums: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-1-approximating-areas)
- 5.2 The Definite Integral (limit of Riemann sums, integrability of continuous functions, net signed area, properties: .../pages/5-2-the-definite-integral)
- 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (Newton and Leibniz, among others, late 1600s and early 1700s; mean value theorem for integrals; parts 1 and 2: .../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus)
- 5.4 Integration Formulas and the Net Change Theorem (.../pages/5-4-integration-formulas-and-the-net-change-theorem)
- 4.10 Antiderivatives (.../pages/4-10-antiderivatives)
- MacTutor, University of St Andrews: Archimedes (287 BC to 212 BC; area of a parabolic segment; π bounded with 96-sided inscribed and circumscribed polygons: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes) and Leibniz (first used the ∫ f(x) dx notation in a manuscript of 21 November 1675: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Leibniz).
확인한 날: 2026-10-17