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직사각형으로 넓이 어림하기

0부터 2까지 y = x² 아래에 직사각형 네 개를 놓으면 왼쪽 끝을 쓸 때 1.75, 오른쪽 끝을 쓸 때 3.75입니다. 실제 넓이 8/3은 그 사이에 있습니다.

넓이를 아는 도형으로

직사각형, 삼각형, 사다리꼴에는 넓이 공식이 있습니다. 하지만 가장자리가 곡선인 도형에는 그런 공식이 없습니다. OpenStax 교재는 적분 장을 아르키메데스로 시작합니다. 아르키메데스는 곡선으로 둘러싸인 도형을 넓이를 아는 도형으로 채웠습니다. 채우는 도형을 점점 더 작게 만들고 그 넓이를 모두 더했는데, 이 방법을 오늘날 실진법(method of exhaustion)이라고 부릅니다. 미적분은 이와 같은 일을 직사각형으로 합니다. 구간 [a, b]를 폭이 Δx = (b − a)/n로 같은 n조각으로 자르고, 조각마다 곡선에서 높이를 따온 직사각형을 하나씩 세운 뒤 그 넓이를 모두 더합니다. 직사각형을 더 많이, 더 가늘게 세울수록 곡선에 더 잘 들어맞습니다.

시그마 기호

많은 항을 더하려면 짧게 쓰는 기호가 필요합니다. 그리스 문자 시그마의 대문자를 쓰면 합을 간단하게 적을 수 있습니다. Σi=120 i는 1 + 2 + ⋯ + 20입니다. 여기서 문자 i는 첨자(index)라고 하며, 시그마 아래에 적힌 값에서 시작해 위에 적힌 값에서 멈춥니다. OpenStax 교재의 첫 예제는 Σi=15 3i = 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 363입니다. 나중에 시간을 아껴 주는 공식이 둘 있습니다. Σi=1n i = n(n + 1)/2, Σi=1n i² = n(n + 1)(2n + 1)/6입니다. 그래서 1 + 2 + ⋯ + 20 = 20 × 21/2 = 210입니다.

왼쪽 끝점과 오른쪽 끝점

직사각형을 세우려면 저마다 높이가 필요합니다. 가장 간단한 방법은 각 조각의 한쪽 끝에서 곡선의 값을 읽어 높이로 쓰는 것입니다. 왼쪽 끝을 쓰면 왼쪽 끝점 근사 Ln = Σ f(xi−1)Δx, 오른쪽 끝을 쓰면 Rn = Σ f(xi)Δx입니다. [0, 2]에서 f(x) = x², n = 4이면 Δx = 0.5입니다. 왼쪽 높이는 f(0), f(0.5), f(1), f(1.5) = 0, 0.25, 1, 2.25라 L4 = 0.5 × 3.5 = 1.75입니다. 오른쪽 높이는 0.25, 1, 2.25, 4라 R4 = 0.5 × 7.5 = 3.75입니다. 이 값들은 OpenStax 교재에 나온 값과 같습니다.

[0, 2]에서 y = x²의 L4입니다. 폭 0.5인 직사각형의 높이가 왼쪽 끝 값 0, 0.25, 1, 2.25입니다. 합 1.75는 직사각형 위쪽 넓이를 놓칩니다.

x²은 [0, 2]에서 증가하므로 왼쪽 직사각형은 모두 곡선 아래에 있고 오른쪽 직사각형은 곡선 위로 삐져나옵니다. 그래서 L4는 작게, R4는 크게 어림하고, 실제 넓이는 1.75와 3.75 사이에 있습니다. 감소하는 함수라면 두 근사의 역할이 서로 바뀝니다. n을 8로 두 배 늘리면 L8 = 2.1875, R8 = 3.1875로 범위가 좁아지고, n = 32이면 2.54에서 2.79 사이입니다. 정확한 넓이는 8/3 ≈ 2.667이고, 4단원에서 이 값을 한 줄로 계산합니다.

배경기원전 3세기의 아르키메데스는 이런 논증으로 포물선 조각의 넓이를 구하고, 두 다각형 사이에 π를 가두었습니다. 그에게는 합이나 극한을 나타내는 일반적인 기호가 없었습니다. 그래서 결과 하나하나가 저마다 따로 쓴 기하학적 증명이었습니다. 가는 띠를 더한다는 생각이 손쉬운 계산이 되기까지는 그것을 담을 기호가 나오는 약 2천 년을 기다려야 했습니다.
무엇이든 더하기 전에 분할점부터 적어 두세요. [0, 2]에서 n = 4이면 분할점은 x0 = 0, x1 = 0.5, x2 = 1, x3 = 1.5, x4 = 2입니다. 왼쪽 합은 x0부터 x3까지, 오른쪽 합은 x1부터 x4까지 씁니다.
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[0, 2]에서 y = x²와 왼쪽 직사각형 4개입니다. 「오른쪽」으로 바꾸고 「n 두 배」를 몇 번 누르면 Ln과 Rn이 8/3 ≈ 2.667로 모입니다.
  1. Σi=120 i = ?
  2. Σi=15 3i = ?
  3. Σi=36 2i = ?
  4. Σi=110 i² = ?
  5. [1, 3]을 똑같이 n = 8조각으로 나누면 Δx = ?
  6. [0, 2]에서 x²의 L4는?
  7. [0, 2]에서 x²의 R4는?
  8. [0, 3]에서 x²/2의 L6는? (OpenStax 그림 5.5)
  9. [0, 3]에서 x²/2의 R6는?
  10. f가 [a, b]에서 증가합니다. 왼쪽 끝점 합은?
    • 실제보다 작다
    • 실제보다 크다
    • 정확하다
    • 음수다
핵심 정리
  • Δx = (b − a)/n이고, 폭 Δx인 직사각형 n개를 씁니다.
  • 시그마 기호: Σi=1n i = n(n + 1)/2, Σ i² = n(n + 1)(2n + 1)/6
  • Ln은 왼쪽 끝, Rn은 오른쪽 끝을 씁니다.
  • 증가함수이면 Ln < 넓이 < Rn이고, 직사각형이 많을수록 차이가 줄어듭니다.
이 과정의 출처 (6)
  • OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 5 Integration: 5.1 Approximating Areas (Archimedes and the method of exhaustion; sigma notation with Σ 3^i for i = 1 to 5 = 363; left and right endpoint approximations L4 = 1.75 and R4 = 3.75 for x² on [0, 2], L6 = 3.4375 and R6 = 5.6875 for x²/2 on [0, 3]; (x − 1)³ + 4 on [0, 2] approaching 8; Riemann sums named for the 19th-century mathematician Bernhard Riemann; upper and lower sums: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-1-approximating-areas)
  • 5.2 The Definite Integral (limit of Riemann sums, integrability of continuous functions, net signed area, properties: .../pages/5-2-the-definite-integral)
  • 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (Newton and Leibniz, among others, late 1600s and early 1700s; mean value theorem for integrals; parts 1 and 2: .../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus)
  • 5.4 Integration Formulas and the Net Change Theorem (.../pages/5-4-integration-formulas-and-the-net-change-theorem)
  • 4.10 Antiderivatives (.../pages/4-10-antiderivatives)
  • MacTutor, University of St Andrews: Archimedes (287 BC to 212 BC; area of a parabolic segment; π bounded with 96-sided inscribed and circumscribed polygons: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes) and Leibniz (first used the ∫ f(x) dx notation in a manuscript of 21 November 1675: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Leibniz).

확인한 날: 2026-10-17