edubun
Русский
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoРусскийBahasa Indonesia日本語
Главная›Математический анализ›Интегралы

Приближение площади прямоугольниками

Четыре прямоугольника под y = x² от 0 до 2 дают 1.75 при выборе левых краёв и 3.75 при выборе правых. Истинная площадь 8/3 лежит между ними.

Фигуры с известной площадью

Для прямоугольников, треугольников и трапеций есть формулы площади, а для области с криволинейной границей готовой формулы нет. OpenStax начинает главу об интегрировании с Архимеда: он заполнял такие области всё меньшими фигурами известной площади и складывал их. Сейчас это называют методом исчерпывания. Математический анализ делает то же самое с прямоугольниками. Разбей отрезок [a, b] на n равных частей шириной Δx = (b − a)/n, построй на каждой прямоугольник высотой до кривой и сложи площади. Чем больше узких прямоугольников, тем лучше они приближают кривую.

Запись суммы через сигму

Для множества слагаемых нужна короткая запись. Заглавная греческая буква сигма компактно обозначает сумму: Σi=120 i означает 1 + 2 + ⋯ + 20. Буква i служит индексом: начинает со значения под сигмой и заканчивает значением над ней. Первый пример OpenStax: Σi=15 3i = 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 363. Позже сэкономят время две формулы: Σi=1n i = n(n + 1)/2 и Σi=1n i² = n(n + 1)(2n + 1)/6. Поэтому 1 + 2 + ⋯ + 20 = 20 × 21/2 = 210.

Левые и правые края

Каждому прямоугольнику нужна высота. Проще всего взять значение кривой на одном из краёв части отрезка. Выбор левых краёв даёт приближение Ln = Σ f(xi−1)Δx, правых краёв Rn = Σ f(xi)Δx. Для f(x) = x² на [0, 2] при n = 4 имеем Δx = 0.5. Высоты слева: f(0), f(0.5), f(1), f(1.5) = 0, 0.25, 1, 2.25, поэтому L4 = 0.5 × 3.5 = 1.75. Высоты справа: 0.25, 1, 2.25, 4, поэтому R4 = 0.5 × 7.5 = 3.75. Именно эти числа приведены в OpenStax.

L4 для y = x² на [0, 2]: прямоугольники шириной 0.5 с высотами по левым краям 0, 0.25, 1 и 2.25. Их суммарная площадь 1.75 не учитывает область над ними.

Поскольку x² возрастает на [0, 2], каждый левый прямоугольник лежит под кривой, а каждый правый выступает над ней. Поэтому L4 занижает площадь, R4 завышает, а истинная площадь находится между 1.75 и 3.75. Для убывающей функции роли меняются. Удвоение n до 8 даёт L8 = 2.1875 и R8 = 3.1875, более узкие границы; при n = 32 границы равны 2.54 и 2.79. Точная площадь, которую урок 4 вычисляет одной строкой, равна 8/3 ≈ 2.667.

КонтекстАрхимед в третьем веке до н. э. с помощью подобных рассуждений нашёл площадь сегмента параболы и ограничил π двумя многоугольниками. Общего обозначения суммы или предела у него не было; каждый результат требовал отдельного геометрического доказательства. Идея сложения узких полос ждала около двух тысяч лет появления обозначений, сделавших её обычным вычислением.
Перед сложением запиши разбиение. При n = 4 на [0, 2] точки деления: x0 = 0, x1 = 0.5, x2 = 1, x3 = 1.5 и x4 = 2. Левые суммы используют от x0 до x3, правые от x1 до x4.
Загрузка

Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.

y = x² на [0, 2] с n = 4 прямоугольниками по левым краям. Переключись на «По правым краям», затем несколько раз нажми «Удвоить n» и наблюдай, как Ln и Rn приближаются к 8/3 ≈ 2.667.
  1. Σi=120 i = ?
  2. Σi=15 3i = ?
  3. Σi=36 2i = ?
  4. Σi=110 i² = ?
  5. [1, 3] разбит на n = 8 равных частей. Δx = ?
  6. L4 для x² на [0, 2]?
  7. R4 для x² на [0, 2]?
  8. L6 для x²/2 на [0, 3] (рисунок 5.5 OpenStax)?
  9. R6 для x²/2 на [0, 3]?
  10. f возрастает на [a, b]. Сумма по левым краям:
    • занижает значение
    • завышает значение
    • точна
    • отрицательна
Главное
  • Δx = (b − a)/n; n прямоугольников шириной Δx.
  • Запись через Σ: Σi=1n i = n(n + 1)/2, Σ i² = n(n + 1)(2n + 1)/6.
  • Ln использует левые края, Rn правые.
  • Для возрастающей f имеем Ln < площадь < Rn; больше прямоугольников сужает разрыв.
Источники курса (6)
  • OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 5 Integration: 5.1 Approximating Areas (Archimedes and the method of exhaustion; sigma notation with Σ 3^i for i = 1 to 5 = 363; left and right endpoint approximations L4 = 1.75 and R4 = 3.75 for x² on [0, 2], L6 = 3.4375 and R6 = 5.6875 for x²/2 on [0, 3]; (x − 1)³ + 4 on [0, 2] approaching 8; Riemann sums named for the 19th-century mathematician Bernhard Riemann; upper and lower sums: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-1-approximating-areas)
  • 5.2 The Definite Integral (limit of Riemann sums, integrability of continuous functions, net signed area, properties: .../pages/5-2-the-definite-integral)
  • 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (Newton and Leibniz, among others, late 1600s and early 1700s; mean value theorem for integrals; parts 1 and 2: .../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus)
  • 5.4 Integration Formulas and the Net Change Theorem (.../pages/5-4-integration-formulas-and-the-net-change-theorem)
  • 4.10 Antiderivatives (.../pages/4-10-antiderivatives)
  • MacTutor, University of St Andrews: Archimedes (287 BC to 212 BC; area of a parabolic segment; π bounded with 96-sided inscribed and circumscribed polygons: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes) and Leibniz (first used the ∫ f(x) dx notation in a manuscript of 21 November 1675: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Leibniz).

Проверено: 2026-10-17