Интегралы

О курсе

Вторая великая идея математического анализа: площадь под кривой, построенная из тонких прямоугольников. Курс начинается с y = x² на [0, 2] и четырёх левых прямоугольников. Поскольку x² здесь возрастает, каждый левый прямоугольник лежит под кривой, а каждый правый выступает над ней, так что L₄ занижает, R₄ завышает, и настоящая площадь лежит между 1.75 и 3.75. В лаборатории ты несколько раз удваиваешь n и смотришь, как обе суммы приближаются к 8/3 ≈ 2.667.

Пять разделов: приближение площади прямоугольниками, суммы Римана и метод средних прямоугольников, определённый интеграл, основная теорема математического анализа, а также чистое изменение и среднее значение. Сигма-запись позволяет компактно записывать длинные суммы. Раздел о методе средних прямоугольников показывает, что каждый раз, когда n удваивается, ошибки для крайних точек уменьшаются примерно вдвое, а ошибка средней точки падает примерно вчетверо: 0.042, 0.010, 0.0026, 0.00065. Определённый интеграл это предел таких сумм, и он измеряет чистую площадь со знаком: для 4 − x² на [0, 3] разность 16/3 над осью и 7/3 под ней равна 3. Основная теорема затем связывает то, что казалось отдельными темами, наклоны и площади, как взаимно обратные процессы. Одна арка y = sin x от 0 до π имеет площадь ровно 2, а восемь прямоугольников по средним точкам дают около 2.013.

Последний раздел читает теорему как чистое изменение. Для v(t) = t² − 4t + 3 на [0, 4], придуманной тележки, три куска площади 4/3 дают перемещение 4/3, но пройденный путь 4. У брошенного камня v(t) = −32t, поэтому перемещение от t = 0 до 2 находят, интегрируя скорость. Курс также советует проверять первообразную дифференцированием: производная (2/3)x^(3/2) равна √x.