edubun
Русский
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoРусскийBahasa Indonesia日本語
Главная›Математический анализ›Интегралы

Основная теорема математического анализа

Тридцать два прямоугольника по серединам под x² от 0 до 2 всё ещё дают ошибку 0.0007. Первообразная x³/3 даёт точное 8/3 одним вычитанием: 8/3 − 0.

Две идеи, одна теорема

До сих пор производные и интегралы казались разными темами: одни о наклоне, другие о площади. Основная теорема математического анализа говорит, что это взаимно обратные действия. OpenStax описывает эту связь как открытую и исследованную, в числе прочих, Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем в конце 1600-х и начале 1700-х годов. Теорема состоит из двух частей, и именно вторая позволяет легко вычислять интегралы.

Первообразные

Первообразной f называется функция F, производная которой равна f. Поскольку d/dx x³/3 = x², функция x³/3 является первообразной x². То же верно для x³/3 + 7 и x³/3 минус любая константа, ведь производная константы равна нулю. Общая первообразная записывается как ∫ f(x) dx = F(x) + C, неопределённый интеграл, где C означает любую константу. Читая правила производных в обратном направлении, получаем таблицу: ∫ xn dx = xn+1/(n + 1) + C при n ≠ −1, ∫ 1/x dx = ln|x| + C, ∫ sin x dx = −cos x + C, ∫ cos x dx = sin x + C, ∫ ex dx = ex + C.

Часть 2: вычисление интегралов

Если f непрерывна на [a, b], а F любая её первообразная, то ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a). Разность часто записывается [F(x)]ab. Для ∫02 x² dx возьмём F(x) = x³/3: F(2) − F(0) = 8/3 − 0 = 8/3, значение, к которому приближались прямоугольники. Константа C не важна: при вычитании она сокращается. Другие примеры: ∫13 2x dx = 9 − 1 = 8; ∫0π sin x dx = (−cos π) − (−cos 0) = 1 + 1 = 2; ∫14 √x dx = (2/3)(8 − 1) = 14/3.

Одна арка y = sin x от 0 до π имеет площадь ровно 2. Восемь средних прямоугольников дают примерно 2.013.

Сравни объём работы. Практикуму ниже нужны 64 прямоугольника, чтобы сумма по серединам отличалась от 8/3 на несколько десятитысячных, но точного совпадения всё равно нет. Теорема даёт точное значение двумя вычислениями x³/3. Именно замена бесконечного сложения прямоугольников поиском одной первообразной делает эту теорему основной.

Часть 1: функция площади

Часть 1 объясняет появление первообразных. Определим функцию площади A(x) = ∫ax f(t) dt: площадь от неподвижного начала a до подвижного конца x. Теорема утверждает A′(x) = f(x). Представь: при малом сдвиге x на h площадь увеличивается на узкую полоску шириной h и высотой примерно f(x), поэтому (A(x + h) − A(x))/h примерно равно f(x), а в пределе равно точно. Скорость роста площади равна высоте кривой на подвижном краю. Значит, функция площади является первообразной, откуда следует часть 2.

Проверяй первообразную дифференцированием. Если d/dx твоей F не совпадает с подынтегральной функцией, определённый интеграл тоже будет неверен. Например, производная (2/3)x3/2 равна x1/2 = √x, значит, это верная первообразная √x.
Загрузка

Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.

x² на [0, 2]. Как бы ни росло n, суммы стремятся к F(2) − F(0) = 8/3, которое панель вычисляет по первообразной x³/3.
  1. ∫13 2x dx = ?
  2. ∫0π sin x dx = ?
  3. ∫14 √x dx с точностью до 4 знаков после точки?
  4. ∫01 (3x² + 2x) dx = ?
  5. ∫01 ex dx с точностью до 4 знаков после точки?
  6. ∫1e (1/x) dx = ?
  7. Первообразная x⁴:
    • x⁵/5
    • 4x³
    • x⁵
    • 5x⁴
  8. A(x) = ∫0x t² dt. Чему равно A′(3)?
  9. Почему при вычислении ∫ab можно опустить +C?
    • Она сокращается в F(b) − F(a)
    • C всегда равна 0
    • У определённых интегралов нет первообразной
    • C нужна только для синуса
  10. Кому OpenStax приписывает установление связи производных и интегралов?
    • Ньютону и Лейбницу, среди прочих, конец 1600-х и начало 1700-х годов
    • Только Архимеду
    • Риману в 1800-х годах
    • Декарту в 1637 году
Главное
  • Первообразная: F′ = f. Неопределённый интеграл ∫ f dx = F + C.
  • Основная теорема, часть 2: ∫ab f dx = F(b) − F(a).
  • Основная теорема, часть 1: d/dx ∫ax f(t) dt = f(x).
  • Дифференцирование и интегрирование взаимно обратны.
Источники курса (6)
  • OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 5 Integration: 5.1 Approximating Areas (Archimedes and the method of exhaustion; sigma notation with Σ 3^i for i = 1 to 5 = 363; left and right endpoint approximations L4 = 1.75 and R4 = 3.75 for x² on [0, 2], L6 = 3.4375 and R6 = 5.6875 for x²/2 on [0, 3]; (x − 1)³ + 4 on [0, 2] approaching 8; Riemann sums named for the 19th-century mathematician Bernhard Riemann; upper and lower sums: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-1-approximating-areas)
  • 5.2 The Definite Integral (limit of Riemann sums, integrability of continuous functions, net signed area, properties: .../pages/5-2-the-definite-integral)
  • 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (Newton and Leibniz, among others, late 1600s and early 1700s; mean value theorem for integrals; parts 1 and 2: .../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus)
  • 5.4 Integration Formulas and the Net Change Theorem (.../pages/5-4-integration-formulas-and-the-net-change-theorem)
  • 4.10 Antiderivatives (.../pages/4-10-antiderivatives)
  • MacTutor, University of St Andrews: Archimedes (287 BC to 212 BC; area of a parabolic segment; π bounded with 96-sided inscribed and circumscribed polygons: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes) and Leibniz (first used the ∫ f(x) dx notation in a manuscript of 21 November 1675: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Leibniz).

Проверено: 2026-10-17