Il teorema fondamentale del calcolo

Trentadue rettangoli dei punti medi sotto x² da 0 a 2 hanno ancora un errore di 0.0007. La primitiva x³/3 dà il valore esatto 8/3 con una sola sottrazione: 8/3 − 0.

Due idee, un teorema

Finora derivate e integrali sembravano argomenti distinti: le une riguardano pendenze, gli altri aree. Il teorema fondamentale del calcolo afferma che sono procedimenti inversi. OpenStax ricorda che Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz, fra gli altri, scoprirono e studiarono questo legame fra la fine del 1600 e l'inizio del 1700. Il teorema ha due parti; è la seconda a rendere semplice il calcolo degli integrali.

Primitive

Una primitiva di f è una funzione F la cui derivata è f. Poiché d/dx x³/3 = x², la funzione x³/3 è una primitiva di x². Lo sono anche x³/3 + 7 e x³/3 meno una costante qualsiasi, perché le costanti hanno derivata nulla. La primitiva generale si scrive ∫ f(x) dx = F(x) + C, un integrale indefinito, dove C è una costante qualsiasi. Leggendo al contrario le regole di derivazione si ottiene una breve tabella: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C per n ≠ −1, ∫ 1/x dx = ln|x| + C, ∫ sin x dx = −cos x + C, ∫ cos x dx = sin x + C, ∫ e^x dx = e^x + C.

Parte 2: calcolare gli integrali

Se f è continua su [a, b] e F è una sua primitiva qualsiasi, allora ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a). La differenza si scrive spesso [F(x)]_a^b. Per ∫₀² x² dx, scegli F(x) = x³/3: F(2) − F(0) = 8/3 − 0 = 8/3, il valore a cui si avvicinavano i rettangoli. La costante C non conta perché si elimina nella sottrazione. Altri esempi: ∫₁³ 2x dx = 9 − 1 = 8; ∫₀^π sin x dx = (−cos π) − (−cos 0) = 1 + 1 = 2; ∫₁⁴ √x dx = (2/3)(8 − 1) = 14/3.

Confronta il lavoro necessario. Nel laboratorio qui sotto servono 64 rettangoli per avvicinare la somma dei punti medi a 8/3 entro pochi decimillesimi, senza mai raggiungerlo esattamente. Il teorema dà il valore esatto calcolando x³/3 in due punti. Trovare una primitiva invece di sommare infiniti rettangoli: è questo vantaggio che giustifica il nome di teorema fondamentale.

Parte 1: la funzione integrale

La parte 1 spiega perché compaiono le primitive. Definisci la funzione integrale A(x) = ∫_a^x f(t) dt, l'area da un estremo fisso a a uno variabile x. Il teorema afferma che A′(x) = f(x). Immagina la figura: quando x si sposta di poco, di h, l'area aumenta di una striscia sottile di ampiezza h e altezza circa f(x), quindi (A(x + h) − A(x))/h è circa f(x), ed è esattamente f(x) al limite. La velocità di crescita dell'area è l'altezza della curva all'estremo mobile. La funzione integrale è dunque una primitiva e da questo segue la parte 2.