Integrali
Cinque unità sulla seconda grande idea dell'analisi: l'area sotto una curva, costruita con rettangoli sottili. Sommerai rettangoli con la notazione sigma, confronterai somme sinistre, destre e dei punti medi, definirai l'integrale definito come loro limite e conoscerai il teorema fondamentale del calcolo, che lega integrali e derivate. Lo userai per variazioni nette e valori medi. Nel laboratorio di analisi puoi disegnare fino a 64 rettangoli e confrontare ogni somma con il valore esatto.
Prima di iniziare
L'integrale definito è un limite di somme e il teorema fondamentale lo collega alle primitive, quindi prima fai Limiti e Derivate. La notazione sigma è spiegata nella prima unità. Il laboratorio di analisi somma per te fino a 64 rettangoli e mostra il valore esatto accanto a ogni somma.
Alla fine
Saprai stimare l'area sotto x² con rettangoli a sinistra, a destra e nel punto medio e vedere che 1.75 e 3.75 racchiudono 8/3, scrivere somme in notazione sigma e considerare negativa l'area sotto l'asse. Saprai calcolare integrali con primitive come x³/3 e distinguere i 4 metri di distanza di un carrello dai suoi 4/3 di metro di spostamento.
- 1Approssimare l'area con rettangoliQuattro rettangoli sotto y = x² da 0 a 2 danno 1.75 usando gli estremi sinistri e 3.75 usando quelli destri. L'area esatta, 8/3, sta nel mezzo.
- 2Somme di Riemann e regola del punto medioCon soli quattro rettangoli, la somma dei punti medi per x² su [0, 2] è 2.625: lo scarto dal valore esatto 8/3 è già inferiore a 0.042.
- 3L'integrale definitoL'integrale di 4 − x² da 0 a 3 è 3: i 16/3 sopra l'asse meno i 7/3 sotto di esso.
- 4Il teorema fondamentale del calcoloTrentadue rettangoli dei punti medi sotto x² da 0 a 2 hanno ancora un errore di 0.0007. La primitiva x³/3 dà il valore esatto 8/3 con una sola sottrazione: 8/3 − 0.
- 5Variazione netta e valore medioUn carrello con velocità t² − 4t + 3 percorre in totale 4 metri in quattro secondi, ma termina a soli 4/3 di metro dal punto di partenza.
Fonti di questo corso (6)
- OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 5 Integration: 5.1 Approximating Areas (Archimedes and the method of exhaustion; sigma notation with Σ 3^i for i = 1 to 5 = 363; left and right endpoint approximations L4 = 1.75 and R4 = 3.75 for x² on [0, 2], L6 = 3.4375 and R6 = 5.6875 for x²/2 on [0, 3]; (x − 1)³ + 4 on [0, 2] approaching 8; Riemann sums named for the 19th-century mathematician Bernhard Riemann; upper and lower sums: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-1-approximating-areas)
- 5.2 The Definite Integral (limit of Riemann sums, integrability of continuous functions, net signed area, properties: .../pages/5-2-the-definite-integral)
- 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (Newton and Leibniz, among others, late 1600s and early 1700s; mean value theorem for integrals; parts 1 and 2: .../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus)
- 5.4 Integration Formulas and the Net Change Theorem (.../pages/5-4-integration-formulas-and-the-net-change-theorem)
- 4.10 Antiderivatives (.../pages/4-10-antiderivatives)
- MacTutor, University of St Andrews: Archimedes (287 BC to 212 BC; area of a parabolic segment; π bounded with 96-sided inscribed and circumscribed polygons: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes) and Leibniz (first used the ∫ f(x) dx notation in a manuscript of 21 November 1675: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Leibniz).
Consultato il: 2026-10-17