Integrais
Cinco unidades sobre a segunda grande ideia do cálculo: a área sob uma curva, construída com retângulos estreitos. Você soma retângulos com a notação de somatório, compara somas à esquerda, à direita e pelo ponto médio, define a integral definida como o limite dessas somas, conhece o Teorema Fundamental do Cálculo, que liga integrais e derivadas, e o usa para calcular variações líquidas e valores médios. No laboratório de cálculo, você desenha até 64 retângulos e vê cada soma ao lado do valor exato.
Sobre este curso
A segunda grande ideia do cálculo é a área sob uma curva, construída com retângulos finos. O curso começa com y = x² em [0, 2] e quatro retângulos à esquerda. Como x² é crescente ali, cada retângulo à esquerda fica sob a curva e cada retângulo à direita passa por cima dela, de modo que L₄ subestima, R₄ superestima, e a área verdadeira fica entre 1.75 e 3.75. No laboratório, você dobra n algumas vezes e vê as duas somas se aproximarem de 8/3 ≈ 2.667.
As cinco unidades são aproximar área com retângulos, somas de Riemann e a regra do ponto médio, a integral definida, o Teorema Fundamental do Cálculo, e variação líquida e valor médio. A notação sigma escreve as somas longas de forma compacta. A unidade do ponto médio mostra que, cada vez que n dobra, os erros nas extremidades caem mais ou menos pela metade, enquanto o erro do ponto médio cai a cerca de um quarto: 0.042, 0.010, 0.0026, 0.00065. A integral definida é o limite dessas somas e mede a área líquida com sinal: para 4 − x² em [0, 3], os 16/3 acima do eixo menos os 7/3 abaixo dão 3. O Teorema Fundamental liga então o que parecia assunto separado, inclinações e áreas, como processos inversos. Um arco de y = sen x, de 0 a π, tem área exatamente 2, e oito retângulos de ponto médio dão cerca de 2.013.
A última unidade lê o teorema como variação líquida. Para v(t) = t² − 4t + 3 em [0, 4], um carrinho inventado, três pedaços de área 4/3 dão um deslocamento de 4/3 mas uma distância percorrida de 4. Uma pedra solta tem v(t) = −32t, então o deslocamento de t = 0 a 2 se obtém integrando a taxa. O curso também manda conferir uma primitiva derivando-a: (2/3)x^(3/2) tem derivada √x.
Antes de começar
A integral definida é um limite de somas, e o Teorema Fundamental a liga às primitivas, então faça primeiro Limites e Derivadas. A notação sigma é explicada na primeira unidade. O laboratório de cálculo soma até 64 retângulos por você e mostra o valor exato ao lado de cada soma.
Ao terminar
Você vai conseguir estimar a área sob x² com retângulos à esquerda, à direita e pelo ponto médio e ver que 1.75 e 3.75 delimitam 8/3, escrever somas em notação sigma e tratar a área abaixo do eixo como negativa. Vai calcular integrais com primitivas como x³/3 e distinguir os 4 metros de distância de um carrinho do seu deslocamento de 4/3 de metro.
- 1Aproximando áreas com retângulosQuatro retângulos sob y = x² de 0 a 2 fornecem 1.75 usando as extremidades esquerdas e 3.75 usando as direitas. A área real, 8/3, fica entre esses valores.
- 2Somas de Riemann e regra do ponto médioCom apenas quatro retângulos, a soma pelo ponto médio para x² em [0, 2] é 2.625, já a menos de 0.042 do valor exato 8/3.
- 3A integral definidaA integral de 4 − x² de 0 a 3 é 3: os 16/3 acima do eixo menos os 7/3 abaixo dele.
- 4O Teorema Fundamental do CálculoTrinta e dois retângulos pelo ponto médio sob x² de 0 a 2 ainda erram por 0.0007. A primitiva x³/3 dá o valor exato 8/3 em uma subtração: 8/3 − 0.
- 5Variação líquida e valor médioUm carrinho com velocidade t² − 4t + 3 percorre 4 metros ao todo em quatro segundos, mas termina a apenas 4/3 de metro de onde começou.
Fontes deste curso (6)
- OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 5 Integration: 5.1 Approximating Areas (Archimedes and the method of exhaustion; sigma notation with Σ 3^i for i = 1 to 5 = 363; left and right endpoint approximations L4 = 1.75 and R4 = 3.75 for x² on [0, 2], L6 = 3.4375 and R6 = 5.6875 for x²/2 on [0, 3]; (x − 1)³ + 4 on [0, 2] approaching 8; Riemann sums named for the 19th-century mathematician Bernhard Riemann; upper and lower sums: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-1-approximating-areas)
- 5.2 The Definite Integral (limit of Riemann sums, integrability of continuous functions, net signed area, properties: .../pages/5-2-the-definite-integral)
- 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (Newton and Leibniz, among others, late 1600s and early 1700s; mean value theorem for integrals; parts 1 and 2: .../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus)
- 5.4 Integration Formulas and the Net Change Theorem (.../pages/5-4-integration-formulas-and-the-net-change-theorem)
- 4.10 Antiderivatives (.../pages/4-10-antiderivatives)
- MacTutor, University of St Andrews: Archimedes (287 BC to 212 BC; area of a parabolic segment; π bounded with 96-sided inscribed and circumscribed polygons: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes) and Leibniz (first used the ∫ f(x) dx notation in a manuscript of 21 November 1675: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Leibniz).
Data de verificação: 2026-10-17