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Variação líquida e valor médio

Um carrinho com velocidade t² − 4t + 3 percorre 4 metros ao todo em quatro segundos, mas termina a apenas 4/3 de metro de onde começou.

Integrando uma taxa

Leia o Teorema Fundamental no sentido contrário. Se F é uma grandeza e F′ é sua taxa de variação, então ∫ab F′(x) dx = F(b) − F(a). O OpenStax chama isso de teorema da variação líquida: integrar uma taxa de variação fornece a variação total. Equivalentemente, F(b) = F(a) + ∫ab F′(x) dx: o novo valor é o antigo mais a variação acumulada. Se água entra em um tanque à taxa constante de 5 litros por minuto durante 12 minutos, a integral é 5 × 12 = 60 litros; com uma taxa variável, a integral faz a soma.

Deslocamento e distância

No movimento, a taxa é a velocidade. ∫ab v(t) dt é o deslocamento, a variação da posição, que conta o movimento para trás como negativo. A distância percorrida é ∫ab |v(t)| dt, que conta cada metro. Tome v(t) = t² − 4t + 3 = (t − 1)(t − 3) metros por segundo em [0, 4], com primitiva t³/3 − 2t² + 3t. O deslocamento é 64/3 − 32 + 12 − 0 = 4/3 metros. Mas v é negativa entre t = 1 e t = 3, quando o carrinho anda para trás.

Divida o intervalo nas mudanças de sinal. De 0 a 1, o carrinho avança 4/3 metros. De 1 a 3, a integral é −4/3, então ele recua 4/3 metros. De 3 a 4, avança mais 4/3 metros. Saldo: 4/3 − 4/3 + 4/3 = 4/3. Distância total: 4/3 + 4/3 + 4/3 = 4 metros. As respostas diferem porque, em uma, o movimento para trás anula parte do avanço e, na outra, soma-se a ele. Perguntas sobre a posição final pedem deslocamento; perguntas sobre combustível, desgaste ou hodômetro pedem distância.

v(t) = t² − 4t + 3 em [0, 4]. Três partes de área 4/3: deslocamento 4/3, distância 4.

A mesma divisão funciona para qualquer taxa que mude de sinal, como entradas e saídas de dinheiro em uma conta ou água bombeada para dentro e para fora de um tanque.

Valor médio de uma função

A média de n números é a soma dividida por n. Para uma função em [a, b], a integral faz o papel da soma e o comprimento b − a faz o papel de n: favg = (1/(b − a)) ∫ab f(x) dx. Geometricamente, é a altura do retângulo em [a, b] com a mesma área da região sob a curva. Para x² em [0, 2], a média é (8/3)/2 = 4/3. Para sin x em [0, π], é 2/π ≈ 0.637. O teorema do valor médio para integrais, na seção 5.3 do OpenStax, acrescenta que uma função contínua atinge seu valor médio em algum ponto do intervalo.

O carrinho é um exemplo fictício escolhido para que cada parte resulte em 4/3. Dados reais de velocidade vêm em uma tabela de medições; nesse caso, uma soma de Riemann dessas leituras faz o papel da integral.
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Velocidade t² − 4t + 3 em [0, 4]. Os retângulos vermelhos representam movimento para trás. A integral exata, 4/3, é o deslocamento.
  1. Água entra a 5 L/min por 12 min. Quantos litros ao todo?
  2. v(t) = t² − 4t + 3 em [0, 4]. Deslocamento em metros (3 casas decimais)?
  3. Mesmo movimento: distância total percorrida em metros?
  4. Em qual intervalo de tempo o carrinho anda para trás?
    • 1 < t < 3
    • 0 < t < 1
    • 3 < t < 4
    • nunca
  5. A pedra em queda tem v(t) = −32t. Deslocamento de t = 0 a 2 (ft)?
  6. Valor médio de x² em [0, 2] (3 casas decimais)?
  7. Valor médio de sin x em [0, π] (3 casas decimais)?
  8. Um tanque contém 100 L. A água escoa a r(t) = 2t L/min por 5 min. Quantos litros restam?
  9. Um hodômetro mede:
    • ∫ |v(t)| dt, a distância
    • ∫ v(t) dt, o deslocamento
    • v(t) no final
    • a velocidade média
  10. favg em [a, b] é igual a:
    • (1/(b − a)) ∫ab f(x) dx
    • (f(a) + f(b))/2
    • ∫ab f(x) dx
    • f((a + b)/2)
Pontos-chave
  • Teorema da variação líquida: ∫ab F′(x) dx = F(b) − F(a).
  • O deslocamento ∫ v dt pode ter cancelamentos; a distância ∫ |v| dt, não.
  • Divida nas mudanças de sinal para obter a distância.
  • Valor médio: (1/(b − a)) ∫ab f(x) dx.
Fontes deste curso (6)
  • OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 5 Integration: 5.1 Approximating Areas (Archimedes and the method of exhaustion; sigma notation with Σ 3^i for i = 1 to 5 = 363; left and right endpoint approximations L4 = 1.75 and R4 = 3.75 for x² on [0, 2], L6 = 3.4375 and R6 = 5.6875 for x²/2 on [0, 3]; (x − 1)³ + 4 on [0, 2] approaching 8; Riemann sums named for the 19th-century mathematician Bernhard Riemann; upper and lower sums: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-1-approximating-areas)
  • 5.2 The Definite Integral (limit of Riemann sums, integrability of continuous functions, net signed area, properties: .../pages/5-2-the-definite-integral)
  • 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (Newton and Leibniz, among others, late 1600s and early 1700s; mean value theorem for integrals; parts 1 and 2: .../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus)
  • 5.4 Integration Formulas and the Net Change Theorem (.../pages/5-4-integration-formulas-and-the-net-change-theorem)
  • 4.10 Antiderivatives (.../pages/4-10-antiderivatives)
  • MacTutor, University of St Andrews: Archimedes (287 BC to 212 BC; area of a parabolic segment; π bounded with 96-sided inscribed and circumscribed polygons: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes) and Leibniz (first used the ∫ f(x) dx notation in a manuscript of 21 November 1675: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Leibniz).

Data de verificação: 2026-10-17