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Variation nette et valeur moyenne

Un chariot de vitesse algébrique t² − 4t + 3 parcourt 4 mètres au total en quatre secondes, mais termine à seulement 4/3 de mètre de son point de départ.

Intégrer un taux de variation

Lis le théorème fondamental dans l'autre sens. Si F est une grandeur quelconque et F′ son taux de variation, alors ∫ab F′(x) dx = F(b) − F(a). OpenStax appelle cela le théorème de la variation nette : intégrer un taux de variation donne la variation totale. Autrement dit, F(b) = F(a) + ∫ab F′(x) dx : la nouvelle valeur est l'ancienne plus la variation accumulée. Si l'eau entre dans un réservoir au débit constant de 5 litres par minute pendant 12 minutes, l'intégrale vaut 5 × 12 = 60 litres ; avec un débit variable, l'intégrale effectue l'addition à ta place.

Déplacement et distance

Pour un mouvement, le taux est la vitesse algébrique. ∫ab v(t) dt est le déplacement, la variation de position, qui compte négativement les retours en arrière. La distance parcourue est ∫ab |v(t)| dt, qui compte chaque mètre. Prenons v(t) = t² − 4t + 3 = (t − 1)(t − 3) mètres par seconde sur [0, 4], de primitive t³/3 − 2t² + 3t. Le déplacement vaut 64/3 − 32 + 12 − 0 = 4/3 mètres. Mais v est négative entre t = 1 et t = 3 : le chariot recule.

Découpe l'intervalle aux changements de signe. De 0 à 1, le chariot avance de 4/3 mètres. De 1 à 3, l'intégrale vaut −4/3 : il recule de 4/3 mètres. De 3 à 4, il avance à nouveau de 4/3 mètres. Bilan : 4/3 − 4/3 + 4/3 = 4/3. Distance totale : 4/3 + 4/3 + 4/3 = 4 mètres. Les réponses diffèrent parce que le recul compense l'avance dans un cas et s'y ajoute dans l'autre. Pour savoir où un objet termine sa course, on cherche le déplacement ; pour le carburant, l'usure ou un compteur kilométrique, on cherche la distance.

v(t) = t² − 4t + 3 sur [0, 4]. Trois régions d'aire 4/3 : déplacement 4/3, distance 4.

On découpe de la même façon pour tout taux qui change de signe, par exemple les entrées et sorties d'argent d'un compte ou l'eau pompée vers un réservoir puis évacuée.

Valeur moyenne d'une fonction

La moyenne de n nombres est leur somme divisée par n. Pour une fonction sur [a, b], l'intégrale joue le rôle de la somme et la longueur b − a celui de n : favg = (1/(b − a)) ∫ab f(x) dx. Géométriquement, c'est la hauteur du rectangle sur [a, b] de même aire que la région sous la courbe. Pour x² sur [0, 2], la moyenne vaut (8/3)/2 = 4/3. Pour sin x sur [0, π], elle vaut 2/π ≈ 0.637. La formule de la moyenne d'OpenStax 5.3 ajoute qu'une fonction continue atteint effectivement sa valeur moyenne en au moins un point de l'intervalle.

L'exemple du chariot est inventé pour que chaque région ait une aire de 4/3. Les données réelles de vitesse se présentent sous forme de tableau de mesures ; une somme de Riemann calculée à partir de ces mesures remplace alors l'intégrale.
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Vitesse algébrique t² − 4t + 3 sur [0, 4]. Les rectangles rouges représentent le recul. L'intégrale exacte, 4/3, donne le déplacement.
  1. L'eau entre à 5 L/min pendant 12 min. Combien de litres au total ?
  2. v(t) = t² − 4t + 3 sur [0, 4]. Quel est le déplacement en mètres (3 décimales) ?
  3. Même mouvement : quelle est la distance totale parcourue en mètres ?
  4. Pendant quel intervalle de temps ce chariot recule-t-il ?
    • 1 < t < 3
    • 0 < t < 1
    • 3 < t < 4
    • jamais
  5. La pierre lâchée a pour vitesse algébrique v(t) = −32t. Quel est son déplacement de t = 0 à 2 (ft) ?
  6. Quelle est la valeur moyenne de x² sur [0, 2] (3 décimales) ?
  7. Quelle est la valeur moyenne de sin x sur [0, π] (3 décimales) ?
  8. Un réservoir contient 100 L. L'eau s'écoule au débit r(t) = 2t L/min pendant 5 min. Combien de litres restent-ils ?
  9. Un compteur kilométrique mesure :
    • ∫ |v(t)| dt, la distance
    • ∫ v(t) dt, le déplacement
    • v(t) à la fin
    • la vitesse algébrique moyenne
  10. favg sur [a, b] vaut :
    • (1/(b − a)) ∫ab f(x) dx
    • (f(a) + f(b))/2
    • ∫ab f(x) dx
    • f((a + b)/2)
L'essentiel
  • Théorème de la variation nette : ∫ab F′(x) dx = F(b) − F(a).
  • Le déplacement ∫ v dt peut se compenser ; la distance ∫ |v| dt ne le peut pas.
  • Pour la distance, découpe aux changements de signe.
  • Valeur moyenne : (1/(b − a)) ∫ab f(x) dx.
Sources de ce cours (6)
  • OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 5 Integration: 5.1 Approximating Areas (Archimedes and the method of exhaustion; sigma notation with Σ 3^i for i = 1 to 5 = 363; left and right endpoint approximations L4 = 1.75 and R4 = 3.75 for x² on [0, 2], L6 = 3.4375 and R6 = 5.6875 for x²/2 on [0, 3]; (x − 1)³ + 4 on [0, 2] approaching 8; Riemann sums named for the 19th-century mathematician Bernhard Riemann; upper and lower sums: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-1-approximating-areas)
  • 5.2 The Definite Integral (limit of Riemann sums, integrability of continuous functions, net signed area, properties: .../pages/5-2-the-definite-integral)
  • 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (Newton and Leibniz, among others, late 1600s and early 1700s; mean value theorem for integrals; parts 1 and 2: .../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus)
  • 5.4 Integration Formulas and the Net Change Theorem (.../pages/5-4-integration-formulas-and-the-net-change-theorem)
  • 4.10 Antiderivatives (.../pages/4-10-antiderivatives)
  • MacTutor, University of St Andrews: Archimedes (287 BC to 212 BC; area of a parabolic segment; π bounded with 96-sided inscribed and circumscribed polygons: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes) and Leibniz (first used the ∫ f(x) dx notation in a manuscript of 21 November 1675: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Leibniz).

Consulté le: 2026-10-17