순변화량과 평균값

속도가 t² − 4t + 3인 수레는 4초 동안 모두 4미터를 움직이지만, 끝나고 보면 출발점에서 4/3미터밖에 떨어져 있지 않습니다.

변화율을 적분하기

이번에는 미적분의 기본 정리를 거꾸로 읽어 봅시다. F가 어떤 양이고 F′가 그 양의 변화율이면 ∫_a^b F′(x) dx = F(b) − F(a)입니다. OpenStax 교재는 이것을 순변화량 정리라고 부릅니다. 변화율을 적분하면 전체 변화량이 나온다는 정리입니다. 같은 내용을 다르게 쓰면 F(b) = F(a) + ∫_a^b F′(x) dx입니다. 다시 말해 새 값은 처음 값에, 그동안 쌓인 변화량을 더한 것입니다. 예를 들어 물이 분당 5리터씩 일정하게 12분 동안 탱크로 들어오면 적분은 5 × 12 = 60리터입니다. 들어오는 빠르기가 시시각각 변한다면, 그때는 적분이 그 더하기를 대신 해 줍니다.

변위와 이동 거리

물체가 움직이는 경우에는 위치의 변화율이 바로 속도입니다. 그래서 ∫_a^b v(t) dt는 위치의 변화량인 변위(displacement)이고, 이 값은 뒤로 간 움직임을 음수로 셉니다. 반면 이동 거리는 ∫_a^b |v(t)| dt이고, 방향과 상관없이 움직인 모든 미터를 하나하나 셉니다. 예를 들어 [0, 4]에서 수레의 속도가 v(t) = t² − 4t + 3 = (t − 1)(t − 3)(초속 미터)이고 역도함수가 t³/3 − 2t² + 3t라고 합시다. 이 역도함수로 계산한 변위는 64/3 − 32 + 12 − 0 = 4/3미터입니다. 그런데 t = 1과 t = 3 사이에서는 v가 음수이고, 이때 수레는 뒤로 굴러갑니다.

이동 거리를 구하려면 속도의 부호가 바뀌는 곳에서 구간을 나눕니다. 먼저 0부터 1까지 수레는 앞으로 4/3미터 갑니다. 1부터 3까지는 적분이 −4/3이므로 뒤로 4/3미터 갑니다. 마지막으로 3부터 4까지는 다시 앞으로 4/3미터 갑니다. 따라서 순변화량은 4/3 − 4/3 + 4/3 = 4/3이고, 이동 거리는 4/3 + 4/3 + 4/3 = 4미터입니다. 두 답이 다른 까닭은 뒤로 간 움직임을 다루는 방식 때문입니다. 변위에서는 뒤로 간 움직임이 앞으로 간 움직임을 지우고, 이동 거리에서는 거기에 더해집니다. 물체가 결국 어디에 가 있는지 묻는 문제에는 변위가 필요합니다. 연료나 마모, 주행 거리계 눈금을 묻는 문제에는 이동 거리가 필요합니다.

부호가 바뀌는 곳에서 나누는 이 방법은 다른 곳에도 그대로 통합니다. 계좌에 들어오고 나가는 돈이나 탱크에 넣고 빼는 물처럼 부호가 바뀌는 어떤 변화율이든 나눠서 다룰 수 있습니다.

함수의 평균값

수 n개의 평균은 그 n개의 수를 모두 더한 합을 n으로 나눈 값입니다. [a, b]에서 정의된 함수라면 적분이 합의 역할을 하고, 구간의 길이 b − a가 n의 역할을 합니다. f_평균 = (1/(b − a)) ∫_a^b f(x) dx입니다. 그림으로 보면 평균값은 [a, b] 위에 세운 직사각형 가운데 곡선 아래 넓이와 같은 넓이를 가진 직사각형의 높이입니다. 예를 들어 [0, 2]에서 x²의 평균은 (8/3)/2 = 4/3이고, [0, π]에서 sin x의 평균은 2/π ≈ 0.637입니다. OpenStax 교재 5.3절의 적분의 평균값 정리는 연속함수라면 구간 안의 어떤 점에서 실제로 그 평균값에 이른다고 덧붙입니다.