Limites
Cinco unidades sobre a ideia que sustenta o cálculo. Você começa pelas duas perguntas que deram origem ao cálculo, a inclinação de uma curva e a área sob ela. Depois estima limites com tabelas e gráficos, conhece limites laterais e infinitos, usa as propriedades dos limites para calcular valores exatos e termina com continuidade. Cada unidade tem um laboratório de cálculo: aproxime x de um ponto ou encurte uma secante e observe os números se estabilizarem.
Antes de começar
Os limites são calculados sobre funções como (x² − 4)/(x − 2), então você precisa da notação de funções de Funções e da fatoração praticada em Funções quadráticas. Raízes quadradas e inclinação de uma reta também aparecem cedo. O laboratório de cálculo cuida das longas tabelas decimais, para que você se concentre no valor do qual os números se aproximam.
Ao terminar
Você vai conseguir explicar como as retas secantes de y = x² se aproximam de uma tangente, estimar um limite a partir de uma tabela em que 3.999 e 4.001 se aproximam de 4 e distinguir limites laterais. Vai achar assíntotas verticais, transformar 0/0 num 1/6 exato com as leis dos limites, aplicar o teorema do confronto e mostrar que x³ − x − 1 cruza o zero entre 1 e 2.
- 1As duas perguntas que deram origem ao cálculoNa curva y = x², a reta que passa por (1, 1) e (2, 4) tem inclinação 3. Mova o segundo ponto para (1.5, 2.25) e a inclinação cai para 2.5.
- 2O limite de uma funçãoA função (x² − 4)/(x − 2) não tem valor em x = 2, mas em x = 1.999 resulta em 3.999 e em 2.001 resulta em 4.001.
- 3Limites laterais e infinitosLogo à esquerda de 2, |x − 2|/(x − 2) é sempre −1; logo à direita de 2, é sempre 1. Os dois lados nunca coincidem.
- 4As propriedades dos limitesSubstitua x = 9 em (√x − 3)/(x − 9) e obterá 0/0. Multiplique o numerador e o denominador por √x + 3 e o limite será exatamente 1/6.
- 5Continuidadef(x) = x³ − x − 1 vale −1 em x = 1 e 5 em x = 2. Como não tem interrupções, deve passar por zero em algum ponto entre eles.
Fontes deste curso (5)
- OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 2 Limits: 2.1 A Preview of Calculus (tangent problem and area problem; secant slopes through (1, 1) on f(x) = x² with (2, 4) giving 3 and (3/2, 9/4) giving 2.5; rock s(t) = −16t² + 64 with average velocities −15.84 and −16.16 near t = 0.5; three rectangles under x² + 1 on [0, 3] giving 8: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
- 2.2 The Limit of a Function ((x² − 4)/(x − 2) → 4 at 2, (sin x)/x → 1 at 0 from a table, sin(1/x) has no limit at 0, one-sided limits of |x − 2|/(x − 2), infinite limits and vertical asymptotes, the formal definition appearing only in the late 19th century: .../pages/2-2-the-limit-of-a-function)
- 2.3 The Limit Laws (sum, difference, constant multiple, product, quotient, power and root laws; direct substitution; factoring and rationalizing 0/0 forms; squeeze theorem: .../pages/2-3-the-limit-laws)
- 2.4 Continuity (three conditions; removable, jump and infinite discontinuities; Intermediate Value Theorem: .../pages/2-4-continuity)
- 2.5 The Precise Definition of a Limit (.../pages/2-5-the-precise-definition-of-a-limit).
Data de verificação: 2026-10-17