極限
微積分を支える考え方を五つの単元で学びます。出発点は、微積分を生んだ二つの問い、曲線の傾きと曲線の下の面積です。表やグラフから極限を見積もり、片側極限と無限大に発散する極限、極限の計算法則、連続性へと進みます。各単元の微積分実験室では、xをある点に近づけたり割線の二点の間隔を縮めたりして、値が落ち着く様子を確かめます。
進み具合
はじめる前に
極限は (x² − 4)/(x − 2) のような関数で計算するので、関数の関数の記法と、二次関数と二次方程式で練習した因数分解が必要です。平方根と直線の傾きも早くに出てきます。長い小数の表は微積分の実験室で計算できるので、数が何に近づくかに集中できます。
終わったら
y = x² の割線が接線に近づく様子を説明し、3.999 と 4.001 が 4 に近づく表から極限を見積もり、片側極限を区別できるようになります。垂直な漸近線を見つけ、極限の法則で 0/0 を正確な 1/6 にし、はさみうちの原理を使い、x³ − x − 1 が 1 と 2 の間で 0 を横切ることを示せます。
- 1微積分の出発点となった二つの問い曲線y = x²上の(1, 1)と(2, 4)を通る直線の傾きは3です。二つ目の点を(1.5, 2.25)に動かすと、傾きは2.5に下がります。
- 2関数の極限関数(x² − 4)/(x − 2)はx = 2で未定義ですが、x = 1.999では3.999、2.001では4.001になります。
- 3片側極限と無限大に発散する極限2のすぐ左では|x − 2|/(x − 2)は常に−1、すぐ右では常に1です。両側の値は一致しません。
- 4極限の計算法則(√x − 3)/(x − 9)にx = 9を代入すると0/0です。分子と分母に√x + 3を掛けると、極限は正確に1/6と求まります。
- 5連続性f(x) = x³ − x − 1はx = 1で−1、x = 2で5です。途中で途切れないため、その間のどこかで必ずゼロになります。
このコースの出典 (5)
- OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 2 Limits: 2.1 A Preview of Calculus (tangent problem and area problem; secant slopes through (1, 1) on f(x) = x² with (2, 4) giving 3 and (3/2, 9/4) giving 2.5; rock s(t) = −16t² + 64 with average velocities −15.84 and −16.16 near t = 0.5; three rectangles under x² + 1 on [0, 3] giving 8: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
- 2.2 The Limit of a Function ((x² − 4)/(x − 2) → 4 at 2, (sin x)/x → 1 at 0 from a table, sin(1/x) has no limit at 0, one-sided limits of |x − 2|/(x − 2), infinite limits and vertical asymptotes, the formal definition appearing only in the late 19th century: .../pages/2-2-the-limit-of-a-function)
- 2.3 The Limit Laws (sum, difference, constant multiple, product, quotient, power and root laws; direct substitution; factoring and rationalizing 0/0 forms; squeeze theorem: .../pages/2-3-the-limit-laws)
- 2.4 Continuity (three conditions; removable, jump and infinite discontinuities; Intermediate Value Theorem: .../pages/2-4-continuity)
- 2.5 The Precise Definition of a Limit (.../pages/2-5-the-precise-definition-of-a-limit).
確認日: 2026-10-17