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微分

曲線上の1点での傾きを表す微分を、6つの単元で学びます。割線の傾きの極限として微分係数を定義し、導関数を独自のグラフを持つ新しい関数として読み取ります。計算を簡単にする微分法を学び、速度と加速度に応用して、最後にグラフの最大値と最小値を求めます。微積分実験室では、割線を接線に近づけたり、曲線上で接線を動かして傾きの変化を確かめたりできます。

進み具合

このコースについて

周りの長さが 40 の長方形のうち、面積がいちばん大きいのは、10 × 10 の正方形です。64 フィートの高さから落とした石は、t = 2 で、秒速 64 フィートで地面に当たります。どちらの答えも同じ考え方から出てきます。微分係数、つまり曲線上の一点での傾きです。このコースはそれをゼロから組み立てます。最初は f(x) = x² で x = 1 から x = 1 + h までの割線を考えます。その傾きはちょうど 2 + h なので、h を小さくしていくと 2 が残ります。

六つの単元は、定義から応用まで進みます。最初は微分係数の定義、次は関数としての導関数です。x² なら、一つの式 f′(x) = 2x から、x = −3 で −6、底で 0、x = 3 で 6 とわかります。続いて累乗の公式を学び、x¹⁰ の導関数は、極限を使わずに 10x⁹ と求められます。積・商・合成関数の微分が次に来て、合成関数の微分を使うと、(3x + 1)⁴ の導関数を、五つの項に展開せずに一行で出せます。変化の割合は高さを速度に変え、最後の単元では傾きが 0 になる場所を探して、いちばん高い点と低い点を見つけます。微積分の実験では、点をドラッグして割線を接線に近づけられます。破線の導関数の曲線上の紫の点は、いま読んでいる傾きの値の高さにあります。f(x) = x³ − 3x では、山と谷の上をドラッグして、傾きが 0 になる様子を確かめられます。

はじめる前に

導関数は割線の傾きの極限として定義されるので、極限から始めましょう。指数、かっこの展開、直線の傾きに慣れていると全体を通して役立ちます。積、商、合成の微分の単元ではサインとコサインも微分するので、これらの関数に少し親しんでおくと助けになります。

終わったら

学び終えると、差の商から x² の導関数を求め、f′(x) = 2x をすべての x での傾きとして読み、べき乗の規則で x¹⁰ を微分できます。積、商、合成の規則を使い、高さの式を落とした石の速度と加速度に変え、周の長さが 40 のとき 10 × 10 の正方形の面積が最大になることを示せます。

  1. 1微分係数の定義f(x) = x² では、x = 1 と x = 1 + h を結ぶ割線の傾きは、ちょうど 2 + h です。h を限りなく0に近づけると、2だけが残ります。
  2. 2関数としての導関数y = x² の傾きは、x = −3 では −6、底では0、x = 3 では6です。f′(x) = 2x という1つの式で、すべて求められます。
  3. 3べき関数と基本的な微分法x¹⁰ の導関数は 10x⁹ です。指数を前に掛け、指数を1つ下げます。極限を計算する必要はありません。
  4. 4積・商・合成関数の微分法(3x + 1)⁴ を展開すると5項になりますが、合成関数の微分法なら、その導関数 12(3x + 1)³ を1行で求められます。
  5. 5変化率としての微分64フィートの高さから落とした石の高さは −16t² + 64 です。1回微分すると速度 −32t が得られます。t = 2 で地面に達するときの速さは毎秒64フィートです。
  6. 6最大値と最小値周の長さが40の長方形では、10×10の正方形の面積が最大です。導関数が0になる点を探すと求められます。
このコースの出典 (10)
  • OpenStax, Calculus Volume 1 : 2.1 A Preview of Calculus (tangent as the limit of secants; rock s(t) = −16t² + 64; stone h(t) = 15t − 4.9t² in the exercises: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
  • chapter 3 Derivatives: 3.1 Defining the Derivative (difference quotient, f′(a) = lim (f(a + h) − f(a))/h, tangent line: .../pages/3-1-defining-the-derivative)
  • 3.2 The Derivative as a Function (graphing f′, differentiability implies continuity, |x| has a corner at 0, higher derivatives: .../pages/3-2-the-derivative-as-a-function)
  • 3.3 Differentiation Rules (constant, power, sum, difference, constant multiple, product and quotient rules: .../pages/3-3-differentiation-rules)
  • 3.4 Derivatives as Rates of Change (position, velocity, speed, acceleration: .../pages/3-4-derivatives-as-rates-of-change)
  • 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x using lim (sin h)/h = 1 and lim (cos h − 1)/h = 0: .../pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)
  • 3.6 The Chain Rule (.../pages/3-6-the-chain-rule)
  • chapter 4: 4.3 Maxima and Minima (critical points, Fermat's theorem, extreme value theorem, closed interval method: .../pages/4-3-maxima-and-minima)
  • 4.5 Derivatives and the Shape of a Graph (first derivative test: .../pages/4-5-derivatives-and-the-shape-of-a-graph)
  • 5.3 for Newton and Leibniz working in the late 1600s and early 1700s (.../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus).

確認日: 2026-10-17