べき関数と基本的な微分法

x¹⁰ の導関数は 10x⁹ です。指数を前に掛け、指数を1つ下げます。極限を計算する必要はありません。

極限から見えてくる規則

毎回、定義の極限から導関数を求めるのは大変です。しかし、答えには規則があります。これまでに d/dx x = 1、d/dx x² = 2x、そして d/dx x³ = 3x² の計算を見ました。べき関数の微分法では、正の整数 n に対して d/dx xⁿ = n xⁿ⁻¹ です。OpenStaxでは、二項定理で (x + h)ⁿ を展開して証明しています。最初の項 xⁿ は打ち消され、次の項は n xⁿ⁻¹ h です。残りの項には h で割っても h が残るので、極限では0になります。

この公式は正の整数以外にも使えます。負の指数では、1/x = x⁻¹ の導関数は −1·x⁻² = −1/x² です。これは x = 1 での 1/x について極限から求めた結果と一致します。分数の指数では、√x = x^1/2 の導関数は (1/2)x^−1/2 = 1/(2√x) です。したがって x = 4 での √x の傾きは 1/4 です。根号や逆数を先にべきの形に直すと、この公式を使いやすくなります。

定数、定数倍、和

極限の法則から、さらに3つの微分法が得られます。水平な直線の傾きは0なので、定数の導関数は0です。定数倍では定数をそのまま外に出せます。d/dx (c·f) = c·f′ です。和と差は項ごとに微分し、d/dx (f ± g) = f′ ± g′ となります。べき関数の微分法と合わせれば、すべての多項式に対応できます。p(x) = 5x³ − 2x + 7 の導関数は 15x² − 2 です。グラフを上下にずらしても傾きは変わらないので、定数7は消えます。

f(x)	f′(x)	理由
7	0	定数
x⁵	5x⁴	べき関数の微分法
4x³	12x²	定数倍
x² − 6x + 1	2x − 6	和と差
√x = x^1/2	1/(2√x)	分数の指数
1/x² = x⁻²	−2/x³	負の指数

公式を使えば、接線もすぐに求まります。y = x³ の x = 2 では、点は (2, 8)、傾きは 3(2)² = 12 なので、接線は y = 8 + 12(x − 2) = 12x − 16 です。y = x² − 6x + 1 では、傾き 2x − 6 が x = 3 で0になります。したがって放物線の最も低い点 (3, −8) で接線が水平になります。導関数が0になる点を探すことが、単元6の中心です。

2つの関数の積を、そのまま個別に微分して掛けることはできません。x²·x³ = x⁵ の導関数は 5x⁴ であり、2x·3x² = 6x³ ではありません。積と商には、次の単元で学ぶ専用の公式が必要です。

答えを確かめます

公式は便利ですが、ときどき定義や数値と照合しましょう。f(x) = x³ の x = 2 では、べき関数の微分法から f′(2) = 12 です。h = 0.01 の差商は (2.01³ − 8)/0.01 = 12.0601、h = 0.001 なら約 12.006 です。確かに上から12に近づいています。3x² を 3x³ と書き間違えると24になるので、差商を1つ計算すればすぐに気づけます。下のラボでは、ドラッグした各点で同じ比較ができます。

多項式では、導関数とグラフの形の関係もわかります。n 次多項式の導関数は n − 1 次なので、3次関数の傾きを表す関数は2次関数で、0になる点は最大2つです。したがって3次関数で増減が切り替わる点は最大2つです。2次関数の傾きは1次関数で0になる点が1つなので、放物線の山や谷は必ず1つです。

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f(x) = x³ と、その導関数 3x²（破線）です。傾きは負にならず、0になるのは x = 0 だけです。そこで曲線は平らになりますが、増減は切り替わりません。

x = 2 での d/dx x⁴ はいくつですか？
p(x) = 5x³ − 2x + 7 のとき、p′(1) はいくつですか？
x = 4 での √x の傾きはいくつですか？
x = 1 での d/dx (1/x²) はいくつですか？
x = 2 での d/dx (1/x) はいくつですか？
y = x³ の x = 2 における接線が y = 12x + b なら、b はいくつですか？
d/dx 7 はいくつですか？
f(x) = 4x² − 6x のとき、f′(3) はいくつですか？
f(x) = x^3/2 のとき、f′(4) はいくつですか？
y = x² − 6x + 1 の接線が水平になる x を答えてください。
d/dx (x²·x³) はどれですか？
- 5x⁴
- 6x³
- 6x⁵
- x⁴

ポイント

べき関数の微分法：d/dx xⁿ = n xⁿ⁻¹。n が負や分数でも成り立ちます。
定数は0、定数倍は c·f′、和と差は項ごとに微分します。
根号や逆数は、先にべきの形に直します。
積には専用の公式が必要です。

このコースの出典 (10)

OpenStax, Calculus Volume 1 : 2.1 A Preview of Calculus (tangent as the limit of secants; rock s(t) = −16t² + 64; stone h(t) = 15t − 4.9t² in the exercises: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
chapter 3 Derivatives: 3.1 Defining the Derivative (difference quotient, f′(a) = lim (f(a + h) − f(a))/h, tangent line: .../pages/3-1-defining-the-derivative)
3.2 The Derivative as a Function (graphing f′, differentiability implies continuity, |x| has a corner at 0, higher derivatives: .../pages/3-2-the-derivative-as-a-function)
3.3 Differentiation Rules (constant, power, sum, difference, constant multiple, product and quotient rules: .../pages/3-3-differentiation-rules)
3.4 Derivatives as Rates of Change (position, velocity, speed, acceleration: .../pages/3-4-derivatives-as-rates-of-change)
3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x using lim (sin h)/h = 1 and lim (cos h − 1)/h = 0: .../pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)
3.6 The Chain Rule (.../pages/3-6-the-chain-rule)
chapter 4: 4.3 Maxima and Minima (critical points, Fermat's theorem, extreme value theorem, closed interval method: .../pages/4-3-maxima-and-minima)
4.5 Derivatives and the Shape of a Graph (first derivative test: .../pages/4-5-derivatives-and-the-shape-of-a-graph)
5.3 for Newton and Leibniz working in the late 1600s and early 1700s (.../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus).

確認日: 2026-10-17