La règle des puissances et les règles de base

La dérivée de x¹⁰ est 10x⁹. Fais passer l'exposant devant, puis diminue-le d'une unité : aucune limite à calculer.

Des régularités dans les limites

Calculer chaque dérivée à partir de la définition par une limite serait long. Heureusement, les résultats suivent des règles. Tu as déjà vu d/dx x = 1, d/dx x² = 2x et les premiers calculs de d/dx x³ = 3x². La règle des puissances dit que, pour tout entier strictement positif n, d/dx xⁿ = n xⁿ⁻¹. OpenStax le démontre en développant (x + h)ⁿ avec la formule du binôme : le premier terme xⁿ s'annule, le suivant est n xⁿ⁻¹ h, et tous les autres contiennent encore h après division par h, donc tendent vers zéro.

Cette règle s'étend au-delà des entiers positifs. Pour les exposants négatifs, 1/x = x⁻¹ a pour dérivée −1·x⁻² = −1/x², ce qui retrouve la limite calculée pour 1/x en x = 1. Pour les exposants fractionnaires, √x = x^1/2 a pour dérivée (1/2)x^−1/2 = 1/(2√x). En x = 4, la pente de √x vaut donc 1/4. Réécrire les racines et les inverses sous forme de puissances avant de dériver rend cette règle particulièrement utile.

Constantes, multiples et sommes

Trois autres règles découlent directement des propriétés des limites. La dérivée d'une constante est 0, car une droite horizontale a une pente de 0. Un facteur constant se conserve : d/dx (c·f) = c·f′. On dérive une somme ou une différence terme à terme : d/dx (f ± g) = f′ ± g′. Avec la règle des puissances, ces règles permettent de dériver tout polynôme. Pour p(x) = 5x³ − 2x + 7, la dérivée est 15x² − 2. La constante 7 disparaît, car une translation verticale de la courbe ne change aucune pente.

Avec ces règles, trouver une tangente prend une minute. Pour y = x³ en x = 2 : le point est (2, 8), la pente est 3(2)² = 12 et la tangente est y = 8 + 12(x − 2) = 12x − 16. Pour y = x² − 6x + 1, la pente 2x − 6 est nulle en x = 3 ; la parabole y a donc une tangente horizontale, en son point le plus bas (3, −8). Chercher les zéros d'une dérivée est l'idée principale de l'unité 6.

Vérifier un résultat

Les règles sont rapides ; il est donc utile de les confronter de temps en temps à la définition ou à des valeurs numériques. Prenons f(x) = x³ en x = 2, où la règle des puissances donne f′(2) = 12. Pour h = 0.01, le taux d'accroissement est (2.01³ − 8)/0.01 = 12.0601 ; pour h = 0.001, il vaut environ 12.006. Les valeurs se rapprochent de 12 par valeurs supérieures, comme prévu. Une erreur comme écrire 3x³ au lieu de 3x² donnerait 24 ; un seul taux d'accroissement permet de la repérer. Le laboratoire ci-dessous fait cette comparaison en chaque point où tu te places.

Les polynômes montrent aussi ce que la dérivée révèle sur la forme d'une courbe. La dérivée d'un polynôme de degré n a pour degré n − 1. Une fonction cubique a donc une dérivée quadratique, avec au plus deux zéros : sa courbe peut changer de sens au plus deux fois. Une fonction du second degré a une dérivée affine, avec un seul zéro ; c'est pourquoi chaque parabole a exactement un point de changement de sens.