Dériver un produit, un quotient et une composée

Développer (3x + 1)⁴ donne cinq termes à calculer. La règle de dérivation d'une composée donne sa dérivée, 12(3x + 1)³, en une ligne.

La dérivée d'un produit

L'unité précédente t'a averti : la dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées. La bonne règle est d/dx (f·g) = f′·g + f·g′. Imagine un rectangle dont les côtés f et g grandissent tous les deux. Son aire f·g augmente de deux bandes : une le long du côté g, de largeur Δf, et une le long du côté f, de largeur Δg, plus un petit coin qui disparaît à la limite. Pour f(x) = x² et g(x) = x³ + 1, la règle donne 2x(x³ + 1) + x²(3x²) = 5x⁴ + 2x. En développant d'abord, on obtient x⁵ + x², puis la même dérivée.

La dérivée d'un quotient

Pour un quotient, d/dx (f/g) = (f′·g − f·g′)/g², partout où g est non nul. L'ordre au numérateur compte à cause du signe moins. Pour le retenir : dénominateur fois dérivée du numérateur, moins numérateur fois dérivée du dénominateur, le tout sur le carré du dénominateur. Pour x/(x + 1) : f = x, f′ = 1, g = x + 1, g′ = 1, donc la dérivée est ((x + 1) − x)/(x + 1)² = 1/(x + 1)². En x = 1, elle vaut 1/4. La règle des puissances à exposants négatifs, utilisée pour 1/x, en est un cas particulier.

Sinus et cosinus

OpenStax calcule la dérivée du sinus à partir de la définition par une limite, en utilisant deux limites du cours précédent : (sin h)/h → 1 et (cos h − 1)/h → 0 lorsque h → 0, avec h en radians. On obtient d/dx sin x = cos x et, de même, d/dx cos x = −sin x. Tu peux observer la première dans le laboratoire ci-dessous : la pente de sin x vaut 1 en x = 0, 0 au sommet x = π/2 et −1 en x = π, exactement les valeurs de cos x. Ces formules ne sont valables qu'en radians.

La dérivée d'une composée

On construit de nombreuses fonctions en plaçant une fonction dans une autre : (3x + 1)⁴, sin(2x), √(x² + 9). La règle de dérivation d'une composée s'applique à toutes : si y = f(g(x)), alors y′ = f′(g(x))·g′(x). Dérive la fonction extérieure en gardant l'expression intérieure intacte, puis multiplie par la dérivée de la fonction intérieure. Pour (3x + 1)⁴, la fonction extérieure est u⁴, de dérivée 4u³, et l'expression intérieure 3x + 1 a pour dérivée 3. On obtient donc 4(3x + 1)³·3 = 12(3x + 1)³. Avec la notation de Leibniz, dy/dx = (dy/du)(du/dx) : cette écriture rappelle une simplification de fractions et aide à retenir la règle.

La dérivée de la fonction intérieure est le facteur souvent oublié. La dérivée de sin(2x) est cos(2x)·2 ; en x = 0, la pente vaut donc 2, soit deux fois celle de sin x au même point, car la courbe est comprimée horizontalement d'un facteur 2. Pour √(x² + 9) = (x² + 9)^1/2, la dérivée est (1/2)(x² + 9)^−1/2·2x = x/√(x² + 9) ; en x = 4, elle vaut 4/5.