Regole del prodotto, del quoziente e della funzione composta
Sviluppare (3x + 1)⁴ porta a un polinomio di cinque termini. La regola della funzione composta dà la derivata, 12(3x + 1)³, in una sola riga.
La regola del prodotto
La scorsa unità avvertiva che la derivata di un prodotto non è il prodotto delle derivate. La regola corretta è d/dx (f·g) = f′·g + f·g′. Pensa a un rettangolo i cui lati f e g stanno entrambi crescendo. La sua area f·g aumenta di due strisce: una lungo il lato g di larghezza Δf e una lungo il lato f di larghezza Δg, più un minuscolo angolo che scompare nel limite. Per f(x) = x² e g(x) = x³ + 1, la regola dà 2x(x³ + 1) + x²(3x²) = 5x⁴ + 2x. Sviluppando prima il prodotto, x⁵ + x², si ottiene lo stesso risultato.
La regola del quoziente
Per un quoziente, d/dx (f/g) = (f′·g − f·g′)/g², dove g è diversa da zero. L'ordine al numeratore conta per via del segno meno; per ricordarlo puoi dire: derivata del numeratore per denominatore, meno numeratore per derivata del denominatore, tutto sul denominatore al quadrato. Per x/(x + 1): f = x, f′ = 1, g = x + 1, g′ = 1, quindi la derivata è ((x + 1) − x)/(x + 1)² = 1/(x + 1)². In x = 1 vale 1/4. La regola delle potenze con esponenti negativi, usata per 1/x, ne è un caso particolare.
Seno e coseno
OpenStax calcola la derivata del seno dalla definizione di limite, usando due limiti del corso sui limiti: (sin h)/h → 1 e (cos h − 1)/h → 0 per h → 0, con h in radianti. Il risultato è d/dx sin x = cos x e, analogamente, d/dx cos x = −sin x. Puoi vedere il primo nel laboratorio qui sotto: la pendenza di sin x è 1 in x = 0, 0 nel massimo x = π/2 e −1 in x = π, proprio i valori di cos x. Queste formule valgono soltanto in radianti.
La regola della funzione composta
Molte funzioni si costruiscono inserendo una funzione dentro un'altra: (3x + 1)⁴, sin(2x), √(x² + 9). La regola della funzione composta le tratta tutte: se y = f(g(x)), allora y′ = f′(g(x))·g′(x). Deriva la funzione esterna lasciando invariata quella interna, poi moltiplica per la derivata della funzione interna. Per (3x + 1)⁴, la funzione esterna è u⁴ con derivata 4u³ e quella interna 3x + 1 ha derivata 3, quindi la derivata è 4(3x + 1)³·3 = 12(3x + 1)³. Nella notazione di Leibniz, dy/dx = (dy/du)(du/dx): sembra una semplificazione fra frazioni ed è un modo sicuro per ricordare la regola.
La derivata della funzione interna è il fattore che si tende a dimenticare. La derivata di sin(2x) è cos(2x)·2, quindi in x = 0 la pendenza è 2, il doppio di quella di sin x nello stesso punto, perché il grafico è compresso orizzontalmente di un fattore 2. Per √(x² + 9) = (x² + 9)1/2, la derivata è (1/2)(x² + 9)−1/2·2x = x/√(x² + 9); in x = 4 vale 4/5.
Trascina per ruotare. Scorri oppure avvicina e allontana due dita per regolare lo zoom.
- d/dx [x²(x³ + 1)] in x = 1?
- d/dx [x/(x + 1)] in x = 1?
- d/dx [(x² + 1)/x] in x = 1?
- d/dx (3x + 1)⁴ in x = 0?
- d/dx (x² + 1)³ in x = 1?
- d/dx sin(2x) in x = 0?
- d/dx cos x in x = π/2?
- d/dx √(x² + 9) in x = 4? (decimale)
- Nella regola della funzione composta per f(g(x)), che cosa moltiplica f′(g(x))?
- g′(x)
- g(x)
- f′(x)
- nulla
- Perché x deve essere in radianti affinché d/dx sin x = cos x?
- La dimostrazione usa (sin h)/h → 1, valido solo in radianti
- I gradi non sono numeri
- Il coseno non è definito in gradi
- Non fa differenza
- Prodotto: (fg)′ = f′g + fg′.
- Quoziente: (f/g)′ = (f′g − fg′)/g².
- In radianti: (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x.
- Funzione composta: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x); non dimenticare la derivata della funzione interna.
Fonti di questo corso (10)
- OpenStax, Calculus Volume 1 : 2.1 A Preview of Calculus (tangent as the limit of secants; rock s(t) = −16t² + 64; stone h(t) = 15t − 4.9t² in the exercises: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
- chapter 3 Derivatives: 3.1 Defining the Derivative (difference quotient, f′(a) = lim (f(a + h) − f(a))/h, tangent line: .../pages/3-1-defining-the-derivative)
- 3.2 The Derivative as a Function (graphing f′, differentiability implies continuity, |x| has a corner at 0, higher derivatives: .../pages/3-2-the-derivative-as-a-function)
- 3.3 Differentiation Rules (constant, power, sum, difference, constant multiple, product and quotient rules: .../pages/3-3-differentiation-rules)
- 3.4 Derivatives as Rates of Change (position, velocity, speed, acceleration: .../pages/3-4-derivatives-as-rates-of-change)
- 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x using lim (sin h)/h = 1 and lim (cos h − 1)/h = 0: .../pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)
- 3.6 The Chain Rule (.../pages/3-6-the-chain-rule)
- chapter 4: 4.3 Maxima and Minima (critical points, Fermat's theorem, extreme value theorem, closed interval method: .../pages/4-3-maxima-and-minima)
- 4.5 Derivatives and the Shape of a Graph (first derivative test: .../pages/4-5-derivatives-and-the-shape-of-a-graph)
- 5.3 for Newton and Leibniz working in the late 1600s and early 1700s (.../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus).
Consultato il: 2026-10-17