La derivata delle potenze e le regole di base

La derivata di x¹⁰ è 10x⁹. Porta l'esponente davanti e diminuiscilo di uno: non serve calcolare un limite.

Una regolarità nei limiti

Calcolare ogni derivata dalla definizione di limite sarebbe lento. Per fortuna i risultati seguono regole precise. Hai già visto d/dx x = 1, d/dx x² = 2x e l'inizio del calcolo di d/dx x³ = 3x². La regola di derivazione delle potenze dice che, per ogni intero positivo n, d/dx xⁿ = n xⁿ⁻¹. OpenStax la dimostra sviluppando (x + h)ⁿ con il teorema del binomio: il primo termine xⁿ si elimina, il successivo è n xⁿ⁻¹ h e tutti gli altri contengono ancora h dopo la divisione per h, quindi si annullano nel limite.

La regola vale anche oltre gli interi positivi. Con esponenti negativi, 1/x = x⁻¹ ha derivata −1·x⁻² = −1/x², in accordo con il limite calcolato per 1/x in x = 1. Con esponenti frazionari, √x = x^1/2 ha derivata (1/2)x^−1/2 = 1/(2√x). Quindi in x = 4 la pendenza di √x è 1/4. Riscrivere radici e reciproci come potenze prima di derivare è l'abitudine che rende questa regola così utile.

Costanti, multipli e somme

Altre tre regole discendono direttamente dalle proprietà dei limiti. La derivata di una costante è 0, perché una retta orizzontale ha pendenza 0. Un fattore costante si mantiene: d/dx (c·f) = c·f′. Una somma o differenza si deriva termine per termine: d/dx (f ± g) = f′ ± g′. Insieme alla regola delle potenze, queste regole permettono di derivare qualsiasi polinomio. Per p(x) = 5x³ − 2x + 7, la derivata è 15x² − 2. La costante 7 scompare perché traslare un grafico in alto o in basso non ne cambia le pendenze.

Con le regole basta un minuto per trovare una tangente. Per y = x³ in x = 2: il punto è (2, 8), la pendenza è 3(2)² = 12 e la tangente è y = 8 + 12(x − 2) = 12x − 16. Per y = x² − 6x + 1, la pendenza 2x − 6 si annulla in x = 3, quindi lì la parabola ha una tangente orizzontale, nel suo punto più basso (3, −8). Trovare dove la derivata è zero è l'idea centrale dell'unità 6.

Controllare un risultato

Le regole sono rapide, ma ogni tanto conviene controllarle con la definizione o con qualche valore numerico. Prendi f(x) = x³ in x = 2, dove la regola delle potenze dà f′(2) = 12. Con h = 0.01 il rapporto incrementale è (2.01³ − 8)/0.01 = 12.0601 e con h = 0.001 vale circa 12.006. I valori si avvicinano a 12 dall'alto, come previsto. Una svista come scrivere 3x³ anziché 3x² darebbe 24 e basterebbe un solo rapporto incrementale per scoprirla. Il laboratorio qui sotto esegue lo stesso confronto per ogni punto su cui ti sposti.

I polinomi aiutano anche a capire che cosa dice la derivata sulla forma del grafico. La derivata di un polinomio di grado n ha grado n − 1: una cubica ha quindi una funzione pendenza quadratica con al massimo due zeri e può cambiare verso al massimo due volte. Una quadratica ha una funzione pendenza lineare con un solo zero, perciò ogni parabola ha esattamente un punto in cui cambia verso.