La derivata come funzione

La pendenza di y = x² è −6 in x = −3, 0 nel punto più basso e 6 in x = 3. Una sola formula, f′(x) = 2x, le dà tutte.

Una pendenza per ogni x

Nell'unità 1 hai trovato f′(1) = 2 e f′(3) = 6 per f(x) = x², calcolando un limite per ciascuna. È più comodo lasciare x come lettera. La funzione derivata è f′(x) = lim_h→0 (f(x + h) − f(x))/h, definita per ogni x in cui il limite esiste. Per x², ((x + h)² − x²)/h = (2xh + h²)/h = 2x + h, che tende a 2x. Ora basta sostituire un valore per ottenere la pendenza: f′(−3) = −6, f′(0) = 0, f′(10) = 20. La derivata trasforma una funzione in una nuova funzione che indica la pendenza della prima.

Puoi abbozzare f′ dal grafico di f senza conoscere alcuna formula. Dove f cresce, le tangenti hanno pendenza positiva, quindi f′ sta sopra l'asse x. Dove f decresce, f′ sta sotto. Dove f ha un massimo o un minimo senza spigoli, la tangente è orizzontale e f′ passa per lo zero. Per f(x) = x³ − 3x, il grafico sale fino a x = −1, scende fino a x = 1, poi torna a salire. Quindi f′ è prima positiva, poi negativa e di nuovo positiva, con zeri in −1 e 1. La formula lo conferma: f′(x) = 3x² − 3, una parabola rivolta verso l'alto con radici ±1.

Dove la derivata non esiste

Una funzione può essere continua senza avere una derivata. L'esempio classico è f(x) = |x| in 0. Da destra il rapporto incrementale è |h|/h = 1; da sinistra è −1. I limiti laterali non coincidono, quindi f′(0) non esiste. Il grafico spiega perché: c'è uno spigolo e nessuna retta può fare da tangente unica in quel punto. OpenStax riassume i casi in cui manca la derivabilità: uno spigolo, una tangente verticale (come per la radice cubica di x in 0, dove la pendenza cresce senza limite), comportamenti più complessi come quello di x sin(1/x) in 0 e una discontinuità.

L'ultimo caso si collega al corso sui limiti. Se f è derivabile in a, allora f è continua in a. Il contrario è falso, e |x| lo dimostra: è continua in 0 ma non derivabile. La derivabilità è dunque una condizione più forte. Un grafico regolare, senza spigoli, tangenti verticali o interruzioni, è derivabile in ogni punto del suo dominio; polinomi, seno, coseno e funzione esponenziale si comportano tutti così.

Derivate di derivate

Poiché f′ è una funzione, ha una propria derivata, la derivata seconda f″. Per x³ − 3x, f′(x) = 3x² − 3 e f″(x) = 6x. La derivata seconda misura come cambia la pendenza stessa. Se f è la posizione, f′ è la velocità e f″ è l'accelerazione, come vedrai nell'unità 5. Puoi proseguire con f‴ e oltre, anche se le prime due sono quelle più frequenti.