Производная как функция

Угловой коэффициент касательной к y = x² равен −6 при x = −3, 0 в нижней точке и 6 при x = 3. Одна формула f′(x) = 2x даёт все эти значения.

Наклон при каждом x

В уроке 1 ты нашёл f′(1) = 2 и f′(3) = 6 для f(x) = x², каждый раз вычисляя отдельный предел. Удобнее сохранить x как переменную. Производная функция f′(x) = lim_h→0 (f(x + h) − f(x))/h определена при всех x, где существует этот предел. Для x² получаем ((x + h)² − x²)/h = (2xh + h²)/h = 2x + h, что стремится к 2x. Теперь любой наклон находится одной подстановкой: f′(−3) = −6, f′(0) = 0, f′(10) = 20. Производная превращает функцию в новую функцию, показывающую наклон исходного графика.

График f′ можно набросать по графику f без формулы. Там, где f возрастает, угловые коэффициенты касательных положительны, поэтому f′ лежит выше оси x. Там, где f убывает, f′ лежит ниже. В гладкой вершине или впадине касательная горизонтальна, и f′ проходит через ноль. График f(x) = x³ − 3x поднимается до x = −1, опускается до x = 1, затем снова поднимается. Значит, f′ сначала положительна, потом отрицательна, затем снова положительна и имеет нули −1 и 1. Формула это подтверждает: f′(x) = 3x² − 3, парабола с ветвями вверх и корнями ±1.

Где производной нет

Функция может быть непрерывной, но не иметь производной. Классический пример: f(x) = |x| в точке 0. Справа разностное отношение |h|/h = 1, слева оно равно −1. Односторонние пределы различны, поэтому f′(0) не существует. На графике видна причина: в этой точке излом, и единой касательной нет. OpenStax перечисляет причины отсутствия дифференцируемости в точке: излом, вертикальная касательная (как у кубического корня из x в 0, где наклон неограниченно растёт), более сложное поведение, как у x sin(1/x) в 0, и разрыв.

Последний случай связан с курсом пределов. Если f дифференцируема в a, то f непрерывна в a. Обратное неверно, и |x| служит примером: она непрерывна в 0, но не дифференцируема. Значит, дифференцируемость является более сильным условием. Гладкий график без изломов, вертикальных касательных и разрывов дифференцируем во всей области определения; так ведут себя многочлены, синус, косинус и показательная функция.

Производные от производных

Поскольку f′ сама является функцией, у неё есть своя производная: вторая производная f″. Для x³ − 3x имеем f′(x) = 3x² − 3 и f″(x) = 6x. Вторая производная измеряет изменение самого наклона. Если f задаёт координату, то f′ задаёт скорость, а f″ ускорение. Это используется в уроке 5. Можно продолжить до f‴ и дальше, но чаще всего встречаются первые две производные.