Turunan sebagai fungsi

Gradien y = x² adalah −6 di x = −3, 0 di titik terbawah, dan 6 di x = 3. Satu rumus, f′(x) = 2x, memberikan semuanya.

Gradien untuk setiap x

Pada unit 1, kamu memperoleh f′(1) = 2 dan f′(3) = 6 untuk f(x) = x², masing-masing melalui limit tersendiri. Lebih efisien jika x tetap berupa huruf. Fungsi turunan adalah f′(x) = lim_h→0 (f(x + h) − f(x))/h, terdefinisi pada setiap x yang limitnya ada. Untuk x², ((x + h)² − x²)/h = (2xh + h²)/h = 2x + h, yang mendekati 2x. Kini cukup lakukan substitusi untuk memperoleh gradien: f′(−3) = −6, f′(0) = 0, f′(10) = 20. Turunan mengubah suatu fungsi menjadi fungsi baru yang menyatakan gradien fungsi semula.

Kamu dapat membuat sketsa f′ dari grafik f tanpa rumus. Saat f menanjak, gradien garis singgungnya positif, sehingga f′ berada di atas sumbu x. Saat f menurun, f′ berada di bawahnya. Pada puncak atau lembah mulus f, garis singgung mendatar dan f′ melintasi nol. Untuk f(x) = x³ − 3x, grafik menanjak hingga x = −1, menurun hingga x = 1, lalu menanjak lagi. Jadi f′ berturut-turut positif, negatif, lalu positif, dengan nilai nol di −1 dan 1. Rumusnya sesuai: f′(x) = 3x² − 3, parabola terbuka ke atas dengan akar ±1.

f (garis utuh) dan f′ (putus-putus). f′ negatif tepat ketika f menurun, antara −1 dan 1, serta nol pada titik balik.

Saat turunan tidak ada

Fungsi bisa kontinu tetapi tidak memiliki turunan. Contoh bakunya adalah f(x) = |x| di 0. Dari kanan, hasil bagi selisihnya |h|/h = 1; dari kiri, nilainya −1. Limit satu sisinya berbeda, sehingga f′(0) tidak ada. Grafiknya menjelaskan alasannya: ada sudut tajam, sehingga tidak ada satu garis singgung tunggal di sana. OpenStax merangkum penyebab fungsi tidak terdiferensialkan di suatu titik: sudut, garis singgung vertikal (seperti akar pangkat tiga x di 0, ketika gradien membesar tanpa batas), perilaku lebih rumit seperti x sin(1/x) di 0, dan diskontinuitas.

Kasus terakhir berkaitan dengan kursus limit. Jika f terdiferensialkan di a, f kontinu di a. Kebalikannya salah, dan |x| membuktikannya: kontinu di 0 tetapi tidak terdiferensialkan. Jadi keterdiferensialan adalah syarat yang lebih kuat. Grafik mulus tanpa sudut, garis singgung vertikal, atau putus bersifat terdiferensialkan di seluruh domainnya; polinom, sinus, kosinus, dan fungsi eksponensial semuanya demikian.

Turunan dari turunan

Karena f′ adalah fungsi, ia juga memiliki turunan, yaitu turunan kedua f″. Untuk x³ − 3x, f′(x) = 3x² − 3 dan f″(x) = 6x. Turunan kedua mengukur perubahan gradien itu sendiri. Jika f menyatakan posisi, f′ menyatakan kecepatan dan f″ percepatan, seperti yang akan digunakan pada unit 5. Kamu dapat melanjutkan ke f‴ dan seterusnya, meskipun dua turunan pertama paling sering muncul.

Notasi fungsi turunan beragam: f′(x), dy/dx, df/dx, dan (d/dx) f(x) bermakna sama. Turunan kedua ditulis f″(x) atau d²y/dx².

Memuat

Seret untuk memutar. Gulir atau rapatkan dan renggangkan dua jari untuk mengatur zoom.

Seret titik sepanjang f(x) = x³ − 3x. Titik ungu pada kurva putus-putus f′ berada pada ketinggian yang sama dengan gradien saat ini.

f(x) = x², jadi f′(x) = 2x. Berapa f′(−3)?
f(x) = x³ − 3x, f′(x) = 3x² − 3. Berapa f′(0)?
Untuk f yang sama, berapa f′(2)?
Pada interval mana x³ − 3x menurun?
- antara −1 dan 1
- x > 1
- x < −1
- di seluruh domain
f(x) = |x|. Berapa f′(2)?
f(x) = |x|. Berapa f′(0)?
- tidak ada
- 0
- 1
- −1
Jika f kontinu di a, apakah f harus terdiferensialkan di a?
- Tidak
- Ya
f(x) = x³ − 3x. f″(x) = 6x. Berapa f″(1)?
Seperti apa grafik turunan y = 2x + 7?
- garis mendatar y = 2
- garis y = 2x
- titik (0, 7)
- parabola
Pada puncak mulus f, nilai f′ adalah:
- 0
- positif
- negatif
- tidak terdefinisi

Poin penting

f′(x) = lim_h→0 (f(x + h) − f(x))/h adalah fungsi baru; d/dx x² = 2x.
f menanjak: f′ > 0. f menurun: f′ < 0. Puncak atau lembah mulus: f′ = 0.
Pada sudut, garis singgung vertikal, dan bagian yang putus, turunan tidak ada.
Terdiferensialkan berarti kontinu, bukan sebaliknya.
f″ adalah turunan f′.

Sumber kursus ini (10)

OpenStax, Calculus Volume 1 : 2.1 A Preview of Calculus (tangent as the limit of secants; rock s(t) = −16t² + 64; stone h(t) = 15t − 4.9t² in the exercises: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
chapter 3 Derivatives: 3.1 Defining the Derivative (difference quotient, f′(a) = lim (f(a + h) − f(a))/h, tangent line: .../pages/3-1-defining-the-derivative)
3.2 The Derivative as a Function (graphing f′, differentiability implies continuity, |x| has a corner at 0, higher derivatives: .../pages/3-2-the-derivative-as-a-function)
3.3 Differentiation Rules (constant, power, sum, difference, constant multiple, product and quotient rules: .../pages/3-3-differentiation-rules)
3.4 Derivatives as Rates of Change (position, velocity, speed, acceleration: .../pages/3-4-derivatives-as-rates-of-change)
3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x using lim (sin h)/h = 1 and lim (cos h − 1)/h = 0: .../pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)
3.6 The Chain Rule (.../pages/3-6-the-chain-rule)
chapter 4: 4.3 Maxima and Minima (critical points, Fermat's theorem, extreme value theorem, closed interval method: .../pages/4-3-maxima-and-minima)
4.5 Derivatives and the Shape of a Graph (first derivative test: .../pages/4-5-derivatives-and-the-shape-of-a-graph)
5.3 for Newton and Leibniz working in the late 1600s and early 1700s (.../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus).

Diperiksa: 2026-10-17