La dérivée comme fonction

La pente de y = x² vaut −6 en x = −3, 0 au point le plus bas et 6 en x = 3. Une seule formule, f′(x) = 2x, les donne toutes.

Une pente pour chaque x

Dans l'unité 1, tu as trouvé f′(1) = 2 et f′(3) = 6 pour f(x) = x², chacune par sa propre limite. Il est plus efficace de garder x sous forme de lettre. La fonction dérivée est f′(x) = lim_h→0 (f(x + h) − f(x))/h, définie en tout x où cette limite existe. Pour x², ((x + h)² − x²)/h = (2xh + h²)/h = 2x + h, qui tend vers 2x. Une simple substitution donne alors n'importe quelle pente : f′(−3) = −6, f′(0) = 0, f′(10) = 20. La dérivation transforme une fonction en une nouvelle fonction qui donne la pente de la première.

Tu peux esquisser f′ à partir de la courbe de f, sans formule. Là où f croît, les pentes de ses tangentes sont positives : f′ est donc au-dessus de l'axe des abscisses. Là où f décroît, f′ est en dessous. En un sommet ou un creux lisse de f, la tangente est horizontale et f′ passe par zéro. Pour f(x) = x³ − 3x, la courbe monte jusqu'à x = −1, descend jusqu'à x = 1, puis remonte. Ainsi, f′ est positive, puis négative, puis positive, avec des zéros en −1 et 1. La formule le confirme : f′(x) = 3x² − 3, une parabole tournée vers le haut et de racines ±1.

Là où la dérivée n'existe pas

Une fonction peut être continue sans être dérivable. L'exemple classique est f(x) = |x| en 0. À droite, le taux d'accroissement est |h|/h = 1 ; à gauche, il vaut −1. Les limites unilatérales sont différentes, donc f′(0) n'existe pas. La courbe explique pourquoi : elle présente un point anguleux, sans tangente unique. OpenStax résume les obstacles à la dérivabilité en un point : un point anguleux, une tangente verticale (comme pour la racine cubique de x en 0, où la pente devient infinie), un comportement plus complexe comme celui de x sin(1/x) en 0, ou une discontinuité.

Ce dernier cas rejoint le cours sur les limites. Si f est dérivable en a, alors f est continue en a. La réciproque est fausse, comme le montre |x| : elle est continue en 0, mais non dérivable. La dérivabilité est donc la condition la plus forte. Une courbe lisse, sans point anguleux, tangente verticale ni rupture est dérivable sur tout son domaine ; c'est le cas des polynômes, du sinus, du cosinus et de la fonction exponentielle.

Dériver une dérivée

Puisque f′ est une fonction, on peut la dériver à son tour : on obtient la dérivée seconde f″. Pour x³ − 3x, f′(x) = 3x² − 3 et f″(x) = 6x. La dérivée seconde mesure la variation de la pente elle-même. Si f donne la position, f′ donne la vitesse et f″ l'accélération, comme tu le verras dans l'unité 5. On peut poursuivre avec f‴ et au-delà, mais les deux premières dérivées sont les plus courantes.